Problema 841

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Suponiendo que A y X son matrices cuadradas y que A+I es invertible, despeja X en la ecuación A-X=AX.
b) Si A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix}, calcula X tal que A-X=AX.


Solución:

a) Despejar X en la ecuación A-X=AX.

AX=A-X~;\\\\AX+X=A~;\\\\(A+I)X=A~;\\\\X=(A+I)^{-1}A


b) Comprobamos si A+I es invertible:

A+I=\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&4\end{pmatrix}

Esta matriz es invertible si su determinante es distinto de 0:

|A+I|=\begin{vmatrix}1&-1\\1&4\end{vmatrix}=4+1=5\neq0

Por lo que A+I es invertible.
Como se indicó en el apartado a), X es:

X=(A+I)^{-1}A

Calculamos la matriz (A+I)^{-1} utilizando la fórmula:

\boxed{(A+I)^{-1}=\dfrac1{|A+I|}\cdot(\text{Adj}(A+I))^t}

\text{Adj}(A+I)=\begin{pmatrix}4&-1\\1&1\end{pmatrix}

(A+I)^{-1}=\dfrac15\begin{pmatrix}4&1\\-1&1\end{pmatrix}

Ya podemos calcular la matriz X:

X=\dfrac15\begin{pmatrix}4&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix}=\dfrac15\begin{pmatrix}1&-1\\1&4\end{pmatrix}\\\\X=\begin{pmatrix}1/5&-1/5\\1/5&4/5\end{pmatrix}

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