Problema 842

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Mediante integración por partes, demuestra que \int\ln x~dx=x(\ln x-1)+C. Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación.
b) Si f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right., di qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.
c) Calcula el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right..


Solución:

a) Recordamos la fórmula para la integración por partes:

\displaystyle\boxed{\int u~dv=u\cdot v-\int v~du}

\begin{array}{ll}u=\ln x&\rightarrow du=\dfrac1x~dx\\dv=dx&\rightarrow v=x\end{array}

Luego:

\displaystyle\int\ln x~dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac1x~dx=\\\\=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C=\\\\=x(\ln x-1)+C

Derivamos este resultado utilizando las reglas de derivación:

\Big[x(\ln x-1)+C\Big]'=\ln x-1+x\cdot\dfrac1x=\ln x-1+1=\ln x


b) Sea f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.
Para que f sea continua en x=e han de ser iguales los tres resultados siguientes:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow e^+}ax+b=ae+b\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow e^-}\ln x=\ln e=1\\\\\bullet~f(e)=\ln e=1

de donde ae+b=1 o lo que es lo mismo, \boxed{b=1-ae}.

Para estudiar la derivabilidad comenzamos calculando la derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1x&\text{si}&x\in(0,e)\\a&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.

Para que f sea derivable en x=e, han de ser iguales los siguientes límites:

\displaystyle\bullet~f'(e^+)=\lim_{x\rightarrow e^+}a=a\\\\\bullet~f'(e^-)=\lim_{x\rightarrow e^-}\dfrac1x=\dfrac1e

de donde a=\dfrac1e.

Entonces, para que f sea derivable en x=e, ha de ser \boxed{a=\dfrac1e} y

b=1-ae=1-\dfrac1e\cdot e=1-1\\\\\boxed{b=0}


b) Convendría hacer un esbozo de la gráfica de f sabiendo, como se vio anteriormente, que es continua y derivable en x=e.
Recordemos la la función y=\ln x es una función elemental definida en (0,+\infty), creciente y cóncava en todo su dominio, que pasa por los puntos (1,0) y (e,1), y que tiene al eje y como asíntota vertical.
La función y=\frac xe es una función lineal cuya gráfica es una recta de pendiente \frac1e, que pasa por los puntos (e,1) y (2e,2).
Por último, tenemos la recta vertical x=4:

p842

El área S encerrada por la función es:

\displaystyle S=\int_1^e\ln x~dx+\int_e^4\dfrac xe~dx=\Big[x(\ln x-1)\Big]_1^e+\left[\dfrac{x^2}{2e}\right]_e^4=\\\\=\Big(e(\ln e-1)-1(\ln 1-1)\Big)+\left(\dfrac{4^2}{2e}-\dfrac{e^2}{2e}\right)=\\\\=1+\dfrac8e-\dfrac e2=\dfrac{2e+16-e^2}{2e}\approx2.58\text{ u.a.}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s