Problema 843

Se pide:

a) Calcular el ángulo del intervalo [0º,90º] que forman los vectores \vec u(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0) y \vec v(-\frac12,\frac{-1+\sqrt2}2,\frac1{\sqrt[4]2}).
b) Obtener la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1,-3,0) y es perpendicular a la recta r\equiv\left\{\begin{array}{rl}x-y+2z&=1\\y-z&=0\end{array}\right.
c) Calcular la distancia del punto Q(1,1,1) al plano \pi:~-x+y+z+4=0 y el punto simétrico de Q respecto a π.


Solución:

a) Para calcular el ángulo α que forman dos vectores \vec u\text{ y }\vec v, utilizamos la fórmula:

\boxed{\cos\alpha=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}}

\vec u\cdot\vec v=(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0)(-\frac12,\frac{-1+\sqrt2}2,\frac1{\sqrt[4]2})=\dfrac1{2\sqrt2}+\dfrac{-1+\sqrt2}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\dfrac12

|\vec u|=\sqrt{\left(\dfrac{-1}{\sqrt2}\right)^2+\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^2+0^2}=\sqrt{\dfrac12+\dfrac12}=1

|\vec v|=\sqrt{\left(\dfrac{-1}2\right)^2+\left(\dfrac{-1+\sqrt2}2\right)^2+\left(\dfrac1{\sqrt[4]2}\right)^2}=\\\\=\sqrt{\dfrac14+\dfrac{(-1+\sqrt2)^2}4+\dfrac1{\sqrt2}}=\sqrt{\dfrac{1+1+2-2\sqrt2}4+\dfrac1{\sqrt2}}=\\\\=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}2+\dfrac1{\sqrt2}}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt2-2+2}{2\sqrt2}}=1

Luego:

\cos\alpha=\dfrac{1/2}{1\cdot1}=\dfrac12\rightarrow\alpha=\arccos\dfrac12=60^\circ


b) El plano π que nos piden tiene por vector normal al vector director de la recta r:

\vec n=\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-1&2\\0&1&-1\end{vmatrix}=\vec\imath(1-2)+\vec\jmath(1)+\vec k(1)=(-1,1,1)

Luego, el plano π es en implícita de la forma:

\pi:~-x+y+z+D=0

Falta calcular el parámetro D. Para ello imponemos que nuestro plano tiene que contener al punto P(1,-3,0). Sustituimos las coordenadas de P en la implícita de π:

-1+(-3)+0+D=0~;\\D=4

Luego, el plano buscado es:

\pi:~-x+y+z+4=0


c) Recordamos la fórmula número 2 de la distancia de un punto a un plano. En nuestro caso tenemos el punto Q(1,1,1) y  el plano \pi:~-x+y+z+4=0. La distancia entre ambos es:

d(Q,\pi)=\dfrac{|-1+1+1+4|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\boxed{\dfrac5{\sqrt3}\text{ u.l.}}

Por último, nos piden calcular el punto simétrico de Q respecto del plano π.
Comenzamos calculando una recta s que pase por Q(1,1,1) y que sea perpendicular a π.
Por ser perpendicular a π, el vector director de s será el vector normal de π: \vec n=(-1,1,1)=\vec v_s.
Con todo esto ya tenemos las ecuaciones vectorial y paramétricas de s:

s:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(-1,1,1)

s:~\left\{\begin{array}{l}x=1-\lambda\\y=1+\lambda\\z=1+\lambda\end{array}\right.p843

La recta s y el plano π se cortan en el punto M que calculamos sustituyendo las paramétricas de s en la implícita de π y resolviendo:

-(1-\lambda)+1+\lambda+1+\lambda+4=0~:\\\\3\lambda+5=0~;\\\\\lambda=\dfrac{-5}3

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de s obtenemos las coordenadas del punto M:

M=(1-\frac{-5}3,1+\frac{-5}3,1+\frac{-5}3)=(\frac83,\frac{-2}3,\frac{-2}3)

El punto M es el punto medio entre Q y Q‘, luego:

M=\dfrac{Q+Q'}2~;\\\\Q'=2M-Q=2(\frac83,\frac{-2}3,\frac{-2}3)-(1,1,1)\\\\\boxed{Q'=\left(\frac{13}3,\frac{-7}3,\frac{-7}3\right)}

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