Se pide:
a) Calcular el ángulo del intervalo [0º,90º] que forman los vectores y
.
b) Obtener la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1,-3,0) y es perpendicular a la recta
c) Calcular la distancia del punto Q(1,1,1) al plano y el punto simétrico de Q respecto a π.
Solución:
a) Para calcular el ángulo α que forman dos vectores , utilizamos la fórmula:
Luego:
b) El plano π que nos piden tiene por vector normal al vector director de la recta r:
Luego, el plano π es en implícita de la forma:
Falta calcular el parámetro D. Para ello imponemos que nuestro plano tiene que contener al punto P(1,-3,0). Sustituimos las coordenadas de P en la implícita de π:
Luego, el plano buscado es:
c) Recordamos la fórmula número 2 de la distancia de un punto a un plano. En nuestro caso tenemos el punto Q(1,1,1) y el plano . La distancia entre ambos es:
Por último, nos piden calcular el punto simétrico de Q respecto del plano π.
Comenzamos calculando una recta s que pase por Q(1,1,1) y que sea perpendicular a π.
Por ser perpendicular a π, el vector director de s será el vector normal de π: .
Con todo esto ya tenemos las ecuaciones vectorial y paramétricas de s:
La recta s y el plano π se cortan en el punto M que calculamos sustituyendo las paramétricas de s en la implícita de π y resolviendo:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de s obtenemos las coordenadas del punto M:
El punto M es el punto medio entre Q y Q‘, luego:
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