Problema 843

Se pide:

a) Calcular el ángulo del intervalo [0º,90º] que forman los vectores $\vec u(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0)$ y $\vec v(-\frac12,\frac{-1+\sqrt2}2,\frac1{\sqrt[4]2})$ .
b) Obtener la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1,-3,0) y es perpendicular a la recta $r\equiv\left\{\begin{array}{rl}x-y+2z&=1\\y-z&=0\end{array}\right.$
c) Calcular la distancia del punto Q(1,1,1) al plano $\pi:~-x+y+z+4=0$ y el punto simétrico de Q respecto a π.

Solución:

a) Para calcular el ángulo α que forman dos vectores $\vec u\text{ y }\vec v$ , utilizamos la fórmula:

$\boxed{\cos\alpha=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}}$

$\vec u\cdot\vec v=(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0)(-\frac12,\frac{-1+\sqrt2}2,\frac1{\sqrt[4]2})=\dfrac1{2\sqrt2}+\dfrac{-1+\sqrt2}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\dfrac12$

$|\vec u|=\sqrt{\left(\dfrac{-1}{\sqrt2}\right)^2+\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^2+0^2}=\sqrt{\dfrac12+\dfrac12}=1$

$|\vec v|=\sqrt{\left(\dfrac{-1}2\right)^2+\left(\dfrac{-1+\sqrt2}2\right)^2+\left(\dfrac1{\sqrt[4]2}\right)^2}=\\\\=\sqrt{\dfrac14+\dfrac{(-1+\sqrt2)^2}4+\dfrac1{\sqrt2}}=\sqrt{\dfrac{1+1+2-2\sqrt2}4+\dfrac1{\sqrt2}}=\\\\=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}2+\dfrac1{\sqrt2}}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt2-2+2}{2\sqrt2}}=1$

Luego:

$\cos\alpha=\dfrac{1/2}{1\cdot1}=\dfrac12\rightarrow\alpha=\arccos\dfrac12=60^\circ$

b) El plano π que nos piden tiene por vector normal al vector director de la recta r:

$\vec n=\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-1&2\\0&1&-1\end{vmatrix}=\vec\imath(1-2)+\vec\jmath(1)+\vec k(1)=(-1,1,1)$

Luego, el plano π es en implícita de la forma:

$\pi:~-x+y+z+D=0$

Falta calcular el parámetro D. Para ello imponemos que nuestro plano tiene que contener al punto P(1,-3,0). Sustituimos las coordenadas de P en la implícita de π:

$-1+(-3)+0+D=0~;\\D=4$

Luego, el plano buscado es:

$\pi:~-x+y+z+4=0$

c) Recordamos la fórmula número 2 de la distancia de un punto a un plano. En nuestro caso tenemos el punto Q(1,1,1) y el plano $\pi:~-x+y+z+4=0$ . La distancia entre ambos es:

$d(Q,\pi)=\dfrac{|-1+1+1+4|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\boxed{\dfrac5{\sqrt3}\text{ u.l.}}$

Por último, nos piden calcular el punto simétrico de Q respecto del plano π.
Comenzamos calculando una recta s que pase por Q(1,1,1) y que sea perpendicular a π.
Por ser perpendicular a π, el vector director de s será el vector normal de π: $\vec n=(-1,1,1)=\vec v_s$ .
Con todo esto ya tenemos las ecuaciones vectorial y paramétricas de s: