Problema 844

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) El 40% de los habitantes de una cierta comarca tienen camelias, el 35% tienen rosas y el 21% tienen camelias y rosas. Si se elige al azar a un habitante de esa comarca, calcular las cinco probabilidades siguientes: de que tenga camelias o rosas; de que no tenga ni camelias ni rosas; de que tenga camelias, sabiendo que tiene rosas; de que tenga rosas, sabiendo que tiene camelias; y de que solamente tenga rosas o solamente tenga camelias.
b) Si en un auditorio hay 50 personas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 hayan nacido en el mes de enero?


Solución:

a) Sea C el suceso “tener camelias” y sea R el suceso “tener rosas”.
Las probabilidad dadas en el enunciado son:

\bullet~P[C]=0.4\\\bullet~P[R]=0.35\\\bullet~P[C\cap R]=0.21

Nos piden las siguientes 5 probabilidades:

  • De que tenga camelias o rosas P[C\cup R]:
    P[C\cup R]=P[C]+P[R]-P[C\cap R]=0.4+0.35-0.21=0.54
  • De que no tenga ni camelias ni rosas P[\overline{C\cup R}]:
    P[\overline{C\cup R}]=1-P[C\cup R]=1-0.54=0.46
  • De que tenga camelias, sabiendo que tiene rosas P[C/R]:
    P[C/R]=\dfrac{P[C\cap R]}{P[R]}=\dfrac{0.21}{0.35}=0.6
  • De que tenga rosas, sabiendo que tiene camelias P[R/C]:
    P[R/C]=\dfrac{P[C\cap R]}{P[C]}=\dfrac{0.21}{0.4}=0.525
  • De que solo tenga rosas o solo tenga camelias:
    P[C\cup R]-P[C\cap R]=0.54-0.21=0.33

b) Este es un problema de distribución binomial B(n,p) , donde la probabilidad de tener k éxitos al realizar una experiencia n veces es:

\displaystyle\boxed{P[x=k]={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}}

Siendo q=1-p.
La probabilidad de que una persona haya nacido en el mes de enero es p=\frac{31}{365}\approx0.085 (aproximación válida aunque el año fuera bisiesto).

Queremos que de los 50 asistentes, al menos 2 hayan nacido en enero, es decir:

P[x\geq2]

Este resultado es el mismo que:

P[x\geq2]=1-P[x<2]=1-P[x=0]-P[x=1]

Calculamos estas dos últimas probabilidades:

\displaystyle P[x=0]={50\choose0}\cdot0.085^0\cdot0.915^{50}=1\cdot1\cdot0.012=0.012\\\\P[x=1]={50\choose1}\cdot0.085^1\cdot0.915^{49}=50\cdot0.085\cdot=0.055

Luego, P[x\geq2]=1-0.012-0.055=0.933

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