Problema 845

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}2x-y+3z&=0\\my+(3-m)z&=-6\\2x-y+mz&=6\end{array}\right.

b) Resuélvelo, si es posible, en los casos m=0 y m=4.


Solución:

a) Escribimos en primer lugar el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&m&3-m\\2&-1&m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-6\\6\end{pmatrix}

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos calculando el rango de la matriz de coeficientes M:

\begin{vmatrix}2&-1&3\\0&m&3-m\\2&-1&m\end{vmatrix}=2m^2-2(3-m)-6m+2(3-m)=2m^2-6m

Ecuación de segundo grado cuyos ceros son:

m(2m-6)=0~;\\\\m=0,~m=3

  • Si m\neq0\text{ y }m\neq3 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n luego, el sistema es compatible determinado.
  • Si m=0, entonces M=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&0&3\\2&-1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}0&3\\-1&0\end{vmatrix}=3\neq0.
    Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-1&3&0\\0&3&-6\\-1&0&6\end{vmatrix}=-18+18=0
    Luego, el rango de M* es también 2, y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=3, entonces M=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&3&0\\2&-1&3\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-1\\0&3\end{vmatrix}=6\neq0.
    Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&-1&0\\0&3&-6\\2&-1&6\end{vmatrix}=36+12-12=36\neq0
    Luego, el rango de M* es 3, y el sistema es incompatible.

b) Si m=0, el sistema es compatible indeterminado como dijimos en el apartado a).
Si m=0, el sistema a resolver es:

\left\{\begin{array}{rl}2x-y+3z&=0\\3z&=-6\\2x-y&=6\end{array}\right.

que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}3z&=-6\\2x-y&=6\end{array}\right.

Parametrizando x=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}3z&=-6\\-y&=6-2\lambda\end{array}\right.

de donde obtenemos la solución del sistema si m=0:

\boxed{\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2\lambda-6\\z=-2\end{array}\right.}

Si m=4, el sistema es compatible determinado como se comentó en el apartado a).
El sistema a resolver es:

\left\{\begin{array}{rl}2x-y+3z&=0\\4y-z&=-6\\2x-y+4z&=6\end{array}\right.

Que en forma matricial es:

\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&4&-1\\2&-1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-6\\6\end{pmatrix}

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&-1&3\\-6&4&-1\\6&-1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&3\\0&4&-1\\2&-1&4\end{vmatrix}}=\dfrac{-72}8=-9

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&0&3\\0&-6&-1\\2&6&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&3\\0&4&-1\\2&-1&4\end{vmatrix}}=\dfrac08=0

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-1&0\\0&4&-6\\2&-1&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&3\\0&4&-1\\2&-1&4\end{vmatrix}}=\dfrac{48}8=6

Es decir, si m=4, la solución del sistema es:

\boxed{\begin{array}{l}x=-9\\y=0\\z=6\end{array}}

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