Problema 846

Considerese la función f(x)=x^2e^{-x}. Se pide:

a) Calcular los límites \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) y \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x).
b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión.
c) Calcular \int f(x)~dx.


Solución:

a) Recordamos que la indeterminación 0·∞ se transforma en indeterminación \frac00\text{ o }\frac{\infty}{\infty} aplicando:

\boxed{a\cdot b=\dfrac a{b^{-1}}}

Recordar la regla de L’Hôpital para resolver indeterminaciones \frac00\text{ o }\frac{\infty}{\infty}. Entonces:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2e^{-x}=\infty\cdot0=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2}{e^x}=\dfrac2{\infty}=0\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2e^{-x}=(+\infty)\cdot(+\infty)=+\infty


b) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos. Recordar la tabla de derivadas:

f'(x)=2xe^{-x}+x^2e^{-x}(-1)=xe^{-x}(2-x)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=2.
Dado que el dominio de f es \mathbb R, solo tenemos en cuenta los dos puntos críticos anteriores en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Luego:

  • f es creciente en (0,2)
  • f es decreciente en el intervalo (-∞,0)∪(2,+∞)

En x=0 observamos un mínimo que toma el valor f(0)=0^2e^{-0}=0, es decir, el en punto (0,0), y en x=2 observamos un máximo de valor f(2)=4e^{-2}, es decir en el punto (2,\frac4{e^2}).

Por último, calculamos los puntos de inflexión de f:

f'(x)=xe^{-x}(2-x)~;\\\\f''(x)=e^{-x}(2-x)+xe^{-x}(-1)(2-x)+xe^{-x}(-1)=\\=e^{-x}\Big(2-x-x(2-x)-x\Big)=\\=e^{-x}(x^2-4x+2)=0

Los puntos de inflexión son los que cumplen x^2-4x+2=0, ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:

x=2-\sqrt2\approx0.586\\x=2+\sqrt2\approx3.414

Para estos valores de x obtenemos los puntos de inflexión (0.586,0.191) y (3.414,0.3835).


c) Calculamos la integral I=\int x^2e^{-x}~dx utilizando el método de integración por partes (recordar también la tabla de integrales):

\boxed{\begin{array}{lcl}u=x^2&\rightarrow&du=2x~dx\\dv=e^{-x}~dx&\rightarrow&v=-e^{-x}\end{array}}

\displaystyle I=\int x^2e^{-x}~dx=-x^2e^{-x}-\int-2xe^{-x}~dx=\\\\=-x^2e^{-x}+\int2xe^{-x}~dx

Esta última integral también la calculamos utilizando el método de integración por partes:

\boxed{\begin{array}{lcl}u=2x&\rightarrow&du=2~dx\\dv=e^{-x}~dx&\rightarrow&v=-e^{-x}\end{array}}

\displaystyle I=-x^2e^{-x}+\int2xe^{-x}~dx=\\\\=-x^2e^{-x}+\left(-2xe^{-x}-\int-2e^{-x}~dx\right)=\\\\=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}+\int2e^{-x}~dx=\\\\=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C

Factorizando el resultado obtenemos:

I=-e^{-x}(x^2+2x+2)+C

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