Da respuesta a los apartados siguientes:
a) Estudia la posición relativa de los planos y
en función del parámetro m.
b) Obtén la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos A(0,0,0), B(1,0,1) y C(0,1,0).
c) Calcula el punto simétrico del punto P(1,2,3) con respecto al plano .
Solución:
a) Para estudiar la posición relativa de dos planos comenzamos construyendo las siguientes matrices con los coeficientes de las ecuaciones de dichos planos:
Calculamos el rango de M utilizando determinantes:
determinante que se anula para , luego:
- Si
entonces rg(M)=2, y los planos se cortan según una recta.
- Si
, entonces rg(M)=1. Calculamos el rango de la matriz M*:
Es decir, rg(M*)=2 y los dos planos son paralelos.
b) La ecuación del plano α que pasa por los puntos A, B y C es el plano formado por
La ecuación implícita del plano α es:
c) Para calcular el punto simétrico de P con respecto a π, comenzamos calculando una recta r perpendicular a π y que pasa por P.
Por ser perpendicular a π, el vector director de r es igual al vector normal de π:
Escribimos la recta r en forma vectorial y en forma paramétrica:
Calculamos el punto M de intersección de la recta r con el plano π sustituyendo las paramétricas de r en la implícita de π y resolviendo:
Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de r para obtener el punto M:
El punto M es el punto medio entre P y P ‘, luego, con la fórmula del punto medio calculamos el punto simétrico de P:
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