Problema 847

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Estudia la posición relativa de los planos \pi_1:~mx-y+2=0 y \pi_2:~2x+3y=0 en función del parámetro m.
b) Obtén la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos A(0,0,0), B(1,0,1) y C(0,1,0).
c) Calcula el punto simétrico del punto P(1,2,3) con respecto al plano \pi:~-x+z=0.


Solución:

a) Para estudiar la posición relativa de dos planos comenzamos construyendo las siguientes matrices con los coeficientes de las ecuaciones de dichos planos:

M=\begin{pmatrix}m&-1&0\\2&3&0\end{pmatrix}\text{ y }M^*=\begin{pmatrix}m&-1&0&2\\2&3&0&0\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}m&-1\\2&3\end{vmatrix}=3m+2

determinante que se anula para m=\frac{-2}3, luego:

  • Si m\neq\frac{-2}3 entonces rg(M)=2, y los planos se cortan según una recta.
  • Si m=\frac{-2}3, entonces rg(M)=1. Calculamos el rango de la matriz M*:
    \begin{vmatrix}-1&2\\3&0\end{vmatrix}=-6\neq0
    Es decir, rg(M*)=2 y los dos planos son paralelos.

b) La ecuación del plano α que pasa por los puntos A, B y C es el plano formado por \{A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}

A=(0,0,0)\\\overrightarrow{AB}=(1,0,1)-(0,0,0)=(1,0,1)\\\overrightarrow{AC}=(0,1,0)-(0,0,0)=(0,1,0)

La ecuación implícita del plano α es:

\begin{vmatrix}x&y&z\\1&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}=z-x\\\\\boxed{\alpha:~-x+z=0}


c) Para calcular el punto simétrico de P con respecto a π, comenzamos calculando una recta r perpendicular a π y que pasa por P.
Por ser perpendicular a π, el vector director de r es igual al vector normal de π:

\vec v_r=\vec n=(-1,0,1)

Escribimos la recta r en forma vectorial y en forma paramétrica:

r:~(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(-1,0,1)

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1-\lambda\\y=2\\z=3+\lambda\end{array}\right.p120

Calculamos el punto M de intersección de la recta r con el plano π sustituyendo las paramétricas de r en la implícita de π y resolviendo:

-(1-\lambda)+(3+\lambda)=0~;\\\\2+2\lambda=0~;\\\\\lambda=-1

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de r para obtener el punto M:

M=(2,2,2)

El punto M es el punto medio entre P y P ‘, luego, con la fórmula del punto medio calculamos el punto simétrico de P:

M=\dfrac{P+P'}2

P+P'=2M\\\\P'=2M-P=2(2,2,2)-(1,2,3)\\\\\boxed{P'=(3,2,1)}

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