Problema 847

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Estudia la posición relativa de los planos $\pi_1:~mx-y+2=0$ y $\pi_2:~2x+3y=0$ en función del parámetro m.
b) Obtén la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos A(0,0,0), B(1,0,1) y C(0,1,0).
c) Calcula el punto simétrico del punto P(1,2,3) con respecto al plano $\pi:~-x+z=0$ .

Solución:

a) Para estudiar la posición relativa de dos planos comenzamos construyendo las siguientes matrices con los coeficientes de las ecuaciones de dichos planos:

$M=\begin{pmatrix}m&-1&0\\2&3&0\end{pmatrix}\text{ y }M^*=\begin{pmatrix}m&-1&0&2\\2&3&0&0\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de M utilizando determinantes:

$\begin{vmatrix}m&-1\\2&3\end{vmatrix}=3m+2$

determinante que se anula para $m=\frac{-2}3$ , luego:

Si $m\neq\frac{-2}3$ entonces rg(M)=2, y los planos se cortan según una recta.
Si $m=\frac{-2}3$ , entonces rg(M)=1. Calculamos el rango de la matriz M*:
$\begin{vmatrix}-1&2\\3&0\end{vmatrix}=-6\neq0$
Es decir, rg(M*)=2 y los dos planos son paralelos.

b) La ecuación del plano α que pasa por los puntos A, B y C es el plano formado por $\{A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}$

$A=(0,0,0)\\\overrightarrow{AB}=(1,0,1)-(0,0,0)=(1,0,1)\\\overrightarrow{AC}=(0,1,0)-(0,0,0)=(0,1,0)$

La ecuación implícita del plano α es:

$\begin{vmatrix}x&y&z\\1&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}=z-x\\\\\boxed{\alpha:~-x+z=0}$

c) Para calcular el punto simétrico de P con respecto a π, comenzamos calculando una recta r perpendicular a π y que pasa por P.
Por ser perpendicular a π, el vector director de r es igual al vector normal de π:

$\vec v_r=\vec n=(-1,0,1)$