Problema 848

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcula P(A) si P(B)=0.8,~P(A\cap B)=0.2 y P(A\cup B) es el triple de P(A).
b) En un determinado lugar, la temperatura máxima durante el mes de julio sigue una distribución normal de media 25ºC y desviación típica 4ºC. Calcula la probabilidad de que la temperatura máxima de un cierto día esté comprendida entre 21ºC y 27.2ºC. ¿En cuántos días del mes se espera que la temperatura máxima permanezca dentro de ese rango?


Solución:

a) Nos dan los datos:

\bullet~P(B)=0.8\\\bullet~P(A\cap B)=0.2\\\bullet~P(A\cup B)=3P(A)

Dado que:

\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}

entonces:

3P(A)=P(A)+0.8-0.2~;\\\\2P(A)=0.6~;\\\\\boxed{P(A)=0.3}


b) Dada la temperatura media de 25ºC y la desviación típica 4ºC, nos piden la probabilidad:

P(21\leq x\leq27.2)

Tipificamos los límites del intervalo con la fórmula:

\boxed{z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}}

\bullet~x=21\rightarrow z=\dfrac{21-25}4=-1\\\bullet~27.2\rightarrow z=\dfrac{27.2-25}4=0.55

Luego:

P(21\leq x\leq27.2)=P(-1\leq z\leq0.55)

Recordamos que:

\boxed{\begin{array}{l}\bullet~P(a\leq z\leq b)=P(z\leq b)-P(z\leq a)\\\bullet~P(z\leq -a)=1-P(z\leq a)\end{array}}

Luego:

P(21\leq x\leq27.2)=P(-1\leq z\leq0.55)=\\\\=P(z\leq0.55)-P(z\leq-1)=P(z\leq0.55)-1+P(z\leq1)

Buscando en la tabla de probabilidades obtenemos:

P(z\leq0.55)=0.7088\\P(z\leq1)=0.8413

Por lo que:

P(21\leq x\leq27.2)=P(z\leq0.55)-1+P(z\leq1)=0.7088-1+0.8413~;\\\\\boxed{P(21\leq x\leq27.2)=0.5501}

De los 31 días del mes de julio, cabe esperar que

31\cdot0.5501\approx17

17 de los días de julio, las temperaturas máximas estén dentro del rango de temperaturas anterior.

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