Da respuesta a los apartados siguientes:
a) Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de la función 
b) Considérese un triángulo tal que: dos de sus vértices son el origen O(0,0) y el punto P(1,3), uno de sus lados está sobre el eje x y otro sobre la tangente en P(1,3) a la gráfica de la parábola 
Solución:
a) Sabemos que el dominio de ln(x) es (0,+∞), luego, el dominio de f es (0,+∞).
Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):
Ecuación cuyas soluciones son x=0 y:
Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos x=0 y 
- f crece en
.
- f decrece en
.
Se observa un mínimo en
Es decir, el mínimo es el punto de la función 
b) Comenzamos calculando la recta tangente a la función 
Así tenemos la recta tangente:
Dado que el tercer vértice es el punto donde se corta la recta tangente con el eje x, cuya ecuación es y=0, entonces el tercer vértice es:
Nos piden representar la el triángulo. Lo primero a representar es la función
Luego, tenemos la recta tangente de ecuación 
Falta calcular la ecuación de la recta que une los puntos (0,0) y (1,3). Recta cuya pendiente es 3 y cuya ordenada en el origen es y=0. La ecuación de esa recta es 
El triángulo está dividido por la parábola en dos regiones: la verde y la amarilla. Calculamos el área 
![\displaystyle A_v=\int_0^13x~dx+\int_1^24-x^2~dx=\left[\dfrac{3x^2}2\right]_0^1+\left[4x-\dfrac{x^3}3\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac32-0\right)+\left(8-\dfrac83-4+\dfrac13\right)=\dfrac32+4-\dfrac73=\dfrac{9+24-14}6~;\\\boxed{A_v=\dfrac{19}6\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A_v%3D%5Cint_0%5E13x%7Edx%2B%5Cint_1%5E24-x%5E2%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D2%5Cright%5D_0%5E1%2B%5Cleft%5B4x-%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D3%5Cright%5D_1%5E2%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cdfrac32-0%5Cright%29%2B%5Cleft%288-%5Cdfrac83-4%2B%5Cdfrac13%5Cright%29%3D%5Cdfrac32%2B4-%5Cdfrac73%3D%5Cdfrac%7B9%2B24-14%7D6%7E%3B%5C%5C%5Cboxed%7BA_v%3D%5Cdfrac%7B19%7D6%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle A_v=\int_0^13x~dx+\int_1^24-x^2~dx=\left[\dfrac{3x^2}2\right]_0^1+\left[4x-\dfrac{x^3}3\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac32-0\right)+\left(8-\dfrac83-4+\dfrac13\right)=\dfrac32+4-\dfrac73=\dfrac{9+24-14}6~;\\\boxed{A_v=\dfrac{19}6\text{ u.a.}}")
Calculamos el área 
![\displaystyle A_a=\int_1^{2.5}-2x+5~dx-\int_1^24-x^2~dx=\left[-x^2+5x\right]_1^{2.5}-\left[4x-\dfrac{x^3}3\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{25}4-4\right)-\left(8-\dfrac83-4+\dfrac13\right)=\dfrac{25}4-8+\dfrac73=\dfrac{75-96+28}{12}~;\\\\\boxed{A_a=\dfrac7{12}\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A_a%3D%5Cint_1%5E%7B2.5%7D-2x%2B5%7Edx-%5Cint_1%5E24-x%5E2%7Edx%3D%5Cleft%5B-x%5E2%2B5x%5Cright%5D_1%5E%7B2.5%7D-%5Cleft%5B4x-%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D3%5Cright%5D_1%5E2%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B25%7D4-4%5Cright%29-%5Cleft%288-%5Cdfrac83-4%2B%5Cdfrac13%5Cright%29%3D%5Cdfrac%7B25%7D4-8%2B%5Cdfrac73%3D%5Cdfrac%7B75-96%2B28%7D%7B12%7D%7E%3B%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7BA_a%3D%5Cdfrac7%7B12%7D%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle A_a=\int_1^{2.5}-2x+5~dx-\int_1^24-x^2~dx=\left[-x^2+5x\right]_1^{2.5}-\left[4x-\dfrac{x^3}3\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{25}4-4\right)-\left(8-\dfrac83-4+\dfrac13\right)=\dfrac{25}4-8+\dfrac73=\dfrac{75-96+28}{12}~;\\\\\boxed{A_a=\dfrac7{12}\text{ u.a.}}")
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