Da respuesta a los apartados siguientes:
a) Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de la función .
b) Considérese un triángulo tal que: dos de sus vértices son el origen O(0,0) y el punto P(1,3), uno de sus lados está sobre el eje x y otro sobre la tangente en P(1,3) a la gráfica de la parábola . Se pide calcular las coordenadas del tercer vértice, dibujar el triángulo y calcular, por separado, el área de las dos regiones en las que el triángulo queda dividido por la parábola
.
Solución:
a) Sabemos que el dominio de ln(x) es (0,+∞), luego, el dominio de f es (0,+∞).
Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):
Ecuación cuyas soluciones son x=0 y:
Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos x=0 y , estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:
- f crece en
.
- f decrece en
.
Se observa un mínimo en donde f toma el valor:
Es decir, el mínimo es el punto de la función .
b) Comenzamos calculando la recta tangente a la función en el punto (1,3). Recordamos la ecuación de la recta tangente:
Así tenemos la recta tangente:
Dado que el tercer vértice es el punto donde se corta la recta tangente con el eje x, cuya ecuación es y=0, entonces el tercer vértice es:
Nos piden representar la el triángulo. Lo primero a representar es la función que es una función cuadrática elemental cuyo vértice está en (0,4) y corta al eje x en las abscisas x=±2, es decir, en (-2,0) y (2,0).
Luego, tenemos la recta tangente de ecuación que pasa por los puntos (1,3) y (2.5,0).
Falta calcular la ecuación de la recta que une los puntos (0,0) y (1,3). Recta cuya pendiente es 3 y cuya ordenada en el origen es y=0. La ecuación de esa recta es .
El triángulo está dividido por la parábola en dos regiones: la verde y la amarilla. Calculamos el área de la región verde (recordar la tabla de integrales):
Calculamos el área de la región amarilla:
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