Problema 850

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II, , , , , ,

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de la función f(x)=x^2\ln x.
b) Considérese un triángulo tal que: dos de sus vértices son el origen O(0,0) y el punto P(1,3), uno de sus lados está sobre el eje x y otro sobre la tangente en P(1,3) a la gráfica de la parábola y=4-x^2. Se pide calcular las coordenadas del tercer vértice, dibujar el triángulo y calcular, por separado, el área de las dos regiones en las que el triángulo queda dividido por la parábola y=4-x^2.

Solución:

a) Sabemos que el dominio de ln(x) es (0,+∞), luego, el dominio de f es (0,+∞).
Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac1x=2x\ln x+x~;\\f'(x)=x(2\ln x+1)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y:

2\ln x+1=0~;\\\ln x=\dfrac{-1}2~;\\x=e^{-1/2}=\dfrac1{\sqrt e}\approx0.607

Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos x=0 y x=\frac1{\sqrt e}, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\frac1{\sqrt e})&(\frac1{\sqrt e},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (\frac1{\sqrt e},+\infty).
  • f decrece en (0,\frac1{\sqrt e}).

Se observa un mínimo en x=\frac1{\sqrt e} donde f toma el valor:

f(\frac1{\sqrt e})=\left(\dfrac1{\sqrt e}\right)^2\cdot\ln\left(\dfrac1{\sqrt e}\right)=\dfrac1e\cdot\dfrac{-1}2=\dfrac{-1}{2e}\approx-0.184

Es decir, el mínimo es el punto de la función (\frac1{\sqrt e},\frac{-1}{2e}).

b) Comenzamos calculando la recta tangente a la función f(x)=4-x^2 en el punto (1,3). Recordamos la ecuación de la recta tangente:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

x_0=1~;\\\\f(1)=3~;\\\\f'(x)=-2x~;\\f'(1)=-2

Así tenemos la recta tangente:

y=-2(x-1)+3~;\\\\y=-2x+5

Dado que el tercer vértice es el punto donde se corta la recta tangente con el eje x, cuya ecuación es y=0, entonces el tercer vértice es:

\left\{\begin{array}{l}y=-2x+5\\y=0\end{array}\right.\rightarrow \boxed{\left(\frac52,0\right)}

Nos piden representar la el triángulo. Lo primero a representar es la función y=4-x^2 que es una función cuadrática elemental cuyo vértice está en (0,4) y corta al eje x en las abscisas x=±2, es decir, en (-2,0) y (2,0).
Luego, tenemos la recta tangente de ecuación y=-2x+5 que pasa por los puntos (1,3) y (2.5,0).

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Falta calcular la ecuación de la recta que une los puntos (0,0) y (1,3). Recta cuya pendiente es 3 y cuya ordenada en el origen es y=0. La ecuación de esa recta es y=3x.

El triángulo está dividido por la parábola en dos regiones: la verde y la amarilla. Calculamos el área A_v de la región verde (recordar la tabla de integrales):

\displaystyle A_v=\int_0^13x~dx+\int_1^24-x^2~dx=\left[\dfrac{3x^2}2\right]_0^1+\left[4x-\dfrac{x^3}3\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac32-0\right)+\left(8-\dfrac83-4+\dfrac13\right)=\dfrac32+4-\dfrac73=\dfrac{9+24-14}6~;\\\boxed{A_v=\dfrac{19}6\text{ u.a.}}

Calculamos el área A_a de la región amarilla:

\displaystyle A_a=\int_1^{2.5}-2x+5~dx-\int_1^24-x^2~dx=\left[-x^2+5x\right]_1^{2.5}-\left[4x-\dfrac{x^3}3\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{25}4-4\right)-\left(8-\dfrac83-4+\dfrac13\right)=\dfrac{25}4-8+\dfrac73=\dfrac{75-96+28}{12}~;\\\\\boxed{A_a=\dfrac7{12}\text{ u.a.}}

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