Problema 851

Se pide:

a) Estudiar la posición relativa de los planos \pi_1:~x+my+z+2=0 y \pi_2:~mx+y+z+m=0 en función de m.
b) Calcular el valor que deben tomar k y m para que los puntos A(0,k,1),~B(-1,2,1) y C(8,1,m) estén alineados.
c) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por los puntos P(-1,2,1) y Q(8,1,1) y la ecuación implícita del plano perpendicular a r que pasa por el punto R(1,1,1).


Solución:

a) Para estudiar la posición relativa de dos planos, como se explica aquí, comenzamos escribiendo las matrices M y M* a partir de las ecuaciones implícitas de los dos planos:

M=\begin{pmatrix}1&m&1\\m&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&m&1&2\\m&1&1&m\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&m\\m&1\end{vmatrix}=1-m^2\\\\1-m^2=0\rightarrow m=\pm1

  • Si m≠1 y m≠-1, entonces rg(M)=2 por lo que ambos planos se cortan según una recta.
  • Si m=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 1, ya que la segunda fila es proporcional a la primera.
    La matriz M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&2\\1&1&1&1\end{pmatrix} tiene rango 2 ya que:
    \begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq0
    por lo que ambos planos son paralelos.
  • Si m=-1, entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\end{pmatrix} tiene rango 2 ya que:
    \begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}=-1-1=-2\neq0
    Luego, en este caso, los dos planos se cortan según una recta.

b) Tres puntos A, B y C están alineados si los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{BC} son paralelos.

\overrightarrow{AB}=(-1,2,1)-(0,k,1)=(-1,2-k,0)\\\overrightarrow{BC}=(8,1,m)-(-1,2,1)=(9,-1,m-1)

Los vectores \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{BC} son paralelos si cumplen la condición de paralelismo de vectores:

\dfrac{-1}9=\dfrac{2-k}{-1}=\dfrac0{m-1}

De la primera igualdad:

\dfrac{-1}9=\dfrac{2-k}{-1}~;\\\\1=9(2-k)~;\\\\\dfrac19=2-k~;\\\\k=2-\dfrac19~;\\\\k=\dfrac{17}9

Y si igualamos \frac{-1}9=\frac0{m-1} obtenemos:

m-1=0~;\\m=1

En conclusión, para que los tres puntos estén alineados, ha de ser k=\frac{17}9 y m=1.


c) La recta r que nos piden pasa por el punto P(-1,2,1) y tiene vector director \vec v_r:

\vec v_r=(8,1,1)-(-1,2,1)=(9,-1,0)

Luego, la recta r es:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=-1+9\lambda\\y=2-\lambda\\z=1\end{array}\right.

Por ser perpendicular a r, la ecuación implícita del plano buscado tiene la forma:

9x-y=D

Queremos que este plano pase por el punto R(1,1,1). Sustituimos las coordenadas de este punto en la ecuación implícita del plano anterior:

9\cdot1-1=D

de donde obtenemos D=8, luego, el plano buscado es:

\boxed{9x-y=8}

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