Problema 852

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) La probabilidad de que un chico recuerde regar su rosal durante una cierta semana es de \frac23. Si se riega, el rosal sobrevive con probabilidad 0.7; si no, lo hace con probabilidad 0.2. Al finalizar la semana, el rosal ha sobrevivido. ¿Cuál es la probabilidad de que el chico no lo haya regado?
b) Una fábrica produce piezas cuyo grosor sigue una distribución normal de media 8 cm y desviación típica 0.01 cm. Calcula la probabilidad de que una pieza tenga un grosor comprendido entre 7.98 y 8.02 cm.


Solución:

a) Sea R el suceso “regar el rosal” y sea S el suceso “el rosal sobrevive”.
La probabilidad de que riegue el rosal es P[R]=\frac23. La probabilidad de que habiéndolo regado, el rosal sobreviva es P[S/R]=0.7. La probabilidad de que si no ha regado el rosal, este sobreviva es de P[S/\overline R]=0.2.

Nos piden la probabilidad de que el chico no haya regado el rosal sabiendo que este ha sobrevivido P[\overline R/S]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[\overline R/S]=\dfrac{P[\overline R]\cdot P[S/\overline R]}{P[S]}

siendo

P[\overline R]=1-P[R]=1-\dfrac23=\dfrac13

Y la probabilidad total:

P[S]=P[R]\cdot P[S/R]+P[\overline R]\cdot P[S/\overline R]~;\\\\P[S]=\dfrac23\cdot0.7+\dfrac13\cdot0.2=\dfrac8{15}

Luego:

P[\overline R/S]=\dfrac{\frac13\cdot0.2}{\frac8{15}}=\dfrac18


b) Tenemos el grosor medio de las piezas, 8 cm, y la desviación típica 0.01 cm.
Nos piden la probabilidad

P[7.98\leq x\leq8.02]

Tipificamos los límites del intervalo con la fórmula:

\boxed{z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}}

x=7.98\rightarrow z=\dfrac{7.98-8}{0.01}=-2\\x=8.02\rightarrow z=\dfrac{8.02-8}{0.01}=2

Luego:

P[7.98\leq x\leq8.02]=P[-2\leq z\leq2]

Recordamos que:

\boxed{\begin{array}{l}\bullet~P(a\leq z\leq b)=P(z\leq b)-P(z\leq a)\\\bullet~P(z\leq -a)=1-P(z\leq a)\end{array}}

entonces:

P[-2\leq z\leq2]=P[z\leq2]-P[z\leq-2]=P[z\leq2]-1+P[z\leq2]

Según la tabla de probabilidades, tenemos que

P[z\leq2]=0.9772

y por último:

P[7.98\leq x\leq8.02]=P[z\leq2]-1+P[z\leq2]=0.9772-1+0.9772=0.9544

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