Problema 853

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x-y+3z&=m\\my-2z&=-2\\x+(m-1)y+(m+3)z&=m\end{array}\right.

b) Resuélvelo, si es posible, en los casos m=0 y m=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&m&-2\\1&m-1&m+3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m\\-2\\m\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes y ampliada en función de m, utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&-1&3\\0&m&-2\\1&m-1&m+3\end{vmatrix}=m(m+3)+2-3m+2(m-1)=\\\\=m^2+3m+2-3m+2m-2=m^2+2m=m(m+2)

Determinante cuyos ceros son m=0 y m=-2.

  • Si m≠0 y m≠-2, entonces el \text{rg}M=3=\text{rg}M^*=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=0, entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&0&-2\\1&-1&3\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&3\\0&-2\end{vmatrix}=2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-1&3&0\\0&-2&-2\\-1&3&0\end{vmatrix}=6-6=0
    Por lo que el rango de M* es 2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=-2, entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&-2&-2\\1&-3&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\0&-2\end{vmatrix}=-2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&-1&-2\\0&-2&-2\\1&-3&-2\end{vmatrix}=4+2-4-6=-4\neq0
    Luego, el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

b) Para m=0 el sistema es compatible indeterminado como vimos en el apartado anterior. El sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x-y+3z&=0\\-2z&=-2\\x-y+3z&=0\end{array}\right.

es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x-y+3z&=0\\-2z&=-2\end{array}\right.

Parametrizando x=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}-y+3z&=-\lambda\\-2z&=-2\end{array}\right.

sistema cuya solución es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=\lambda+3\\z=1\end{array}\right.

Para m=2 el sistema es compatible determinado como se vio antes. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-1&3\\-2&2&-2\\2&1&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&3\\0&2&-2\\1&1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{20+4-6-12-10+4}8=\dfrac08=0

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-2&-2\\1&2&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&3\\0&2&-2\\1&1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{-10-4+6+4}8=\dfrac{-4}8=\dfrac{-1}2

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-1&2\\0&2&-2\\1&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&3\\0&2&-2\\1&1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{4+2-4+2}8=\dfrac48=\dfrac12

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