Da respuesta a los apartados siguientes:
a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola , un cateto sobre el eje x y el otro paralelo al eje y, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.
b) Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.
Solución:
a) La función cuadrática es una función elemental que tiene por gráfica una parábola cóncava cuyo vértice es el punto (0,4) y corta al eje x en (-2,0) y (2,0).
El triángulo rectángulo se forma con un vértice en el origen (0,0), otro vértice sobre el eje x en el punto (x,0) y el otro vértice sobre la parábola con coordenada (x,y) siendo
.
El área del triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos:
Dado que , entonces el área es:
Nos piden calcular x para obtener el área máxima. Calculamos los puntos críticos de A (recordar la tabla de derivadas):
Descartamos el valor negativo ya que el triángulo está en el primer cuadrante.
Para ver si este punto crítico corresponde a un máximo, utilizamos el test de la derivada segunda:
Luego, si el cateto horizontal mide u.l., el área es máxima.
El valor del cateto vertical es:
b) Ver enunciados del teorema de Bolzano y del teorema de Rolle.
♦