Problema 854

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola $y=4-x^2$ , un cateto sobre el eje x y el otro paralelo al eje y, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.
b) Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.

Solución:

a) La función cuadrática $y=4-x^2$ es una función elemental que tiene por gráfica una parábola cóncava cuyo vértice es el punto (0,4) y corta al eje x en (-2,0) y (2,0). p854 El triángulo rectángulo se forma con un vértice en el origen (0,0), otro vértice sobre el eje x en el punto (x,0) y el otro vértice sobre la parábola con coordenada (x,y) siendo $y=4-x^2$ .
El área del triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos:

$A=x\cdot y$

Dado que $y=4-x^2$ , entonces el área es:

$A(x)=x\cdot(4-x^2)=4x-x^3$

Nos piden calcular x para obtener el área máxima. Calculamos los puntos críticos de A (recordar la tabla de derivadas):

$A'(x)=4-3x^2=0~;\\\\3x^2=4~;\\\\x^2=\dfrac43~;\\\\x=\pm\sqrt{\dfrac43}=\pm\dfrac{2\sqrt3}3\approx\pm1.15$

Descartamos el valor negativo ya que el triángulo está en el primer cuadrante.
Para ver si este punto crítico corresponde a un máximo, utilizamos el test de la derivada segunda:

$A''(x)=-6x~;\\\\A''(\frac{2\sqrt3}3=-6\cdot\dfrac{2\sqrt3}3<0$