Problema 854

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola y=4-x^2, un cateto sobre el eje x y el otro paralelo al eje y, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.
b) Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.


Solución:

a) La función cuadrática y=4-x^2 es una función elemental que tiene por gráfica una parábola cóncava cuyo vértice es el punto (0,4) y corta al eje x en (-2,0) y (2,0).p854El triángulo rectángulo se forma con un vértice en el origen (0,0), otro vértice sobre el eje x en el punto (x,0) y el otro vértice sobre la parábola con coordenada (x,y) siendo y=4-x^2.
El área del triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos:

A=x\cdot y

Dado que y=4-x^2, entonces el área es:

A(x)=x\cdot(4-x^2)=4x-x^3

Nos piden calcular x para obtener el área máxima. Calculamos los puntos críticos de A (recordar la tabla de derivadas):

A'(x)=4-3x^2=0~;\\\\3x^2=4~;\\\\x^2=\dfrac43~;\\\\x=\pm\sqrt{\dfrac43}=\pm\dfrac{2\sqrt3}3\approx\pm1.15

Descartamos el valor negativo ya que el triángulo está en el primer cuadrante.
Para ver si este punto crítico corresponde a un máximo, utilizamos el test de la derivada segunda:

A''(x)=-6x~;\\\\A''(\frac{2\sqrt3}3=-6\cdot\dfrac{2\sqrt3}3<0

Luego, si el cateto horizontal mide x=\frac{2\sqrt3}3 u.l., el área es máxima.
El valor del cateto vertical es:

y=4-\left(\dfrac{2\sqrt3}3\right)^2=4-\dfrac{4\cdot3}{3^2}=4-\dfrac43\\\\y=\dfrac83\text{ u.l.}


b) Ver enunciados del teorema de Bolzano y del teorema de Rolle.

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