Problema 855

Se pide:

a) Para el plano \pi:~3x+2y-z=0 y la recta r:~\frac{x-2}1=\frac{y+1}{-2}=\frac z3, calcular el punto de corte de r con π y obtener la ecuación implícita del plano π* que es perpendicular a π y contiene a r.
b) Estudiar la posición relativa de los planos \pi_1:~2x-5y-4z-9=0 y \pi_2:~x=0, y calcular el ángulo \alpha\in[0^\circ,90^\circ] que forman.


Solución:

a) Para calcular el punto de corte P de una recta y un plano, sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda\\y=-1-2\lambda\\z=3\lambda\end{array}\right.

Sustituimos estas paramétricas en el plano \pi:~3x+2y-z=0 y resolvemos:

3(2+\lambda)+2(-1-2\lambda)-3\lambda=0~;\\\\6+3\lambda-2-4\lambda-3\lambda=0~;\\\\-4\lambda=-4~;\\\\\lambda=1

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de r y así obtenemos el punto de corte:

\boxed{P:~\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=-3\\z=3\end{array}\right.}

Por otra parte, nos piden el plano π*.

  • Por ser perpendicular a π, uno de los vectores directores de π* es el vector normal de π, es decir, \vec v_1=\vec n_\pi=(3,2,-1).
  • Por contener a r, el otro vector director de π* es el vector director de r, es decir, \vec v_2=\vec v_r=(1,-2,3).
  • Por contener a r, el plano π* pasa por un punto cualquiera de r, por ejemplo, el punto P_r=(2,-1,0) que se observa en la ecuación continua del enunciado.

Luego, el plano π* es en forma vectorial:

\pi^*:~(x,y,z)=(2,-1,0)+\lambda(3,2,-1)+\mu(1,-2,3)

pero nos piden π* en forma implícita:

\begin{vmatrix}x-2&y+1&z\\3&2&-1\\1&-2&3\end{vmatrix}=6(x-2)-(y+1)-6z-2z-9(y+1)-2(x-2)=\\\\=4(x-2)-10(y+1)-8z=0~;\\\\2(x-2)-5(y+1)-4z=0~;\\\\\boxed{\pi^*:~2x-5y-4z-9=0}


b) Como se explica aquí, comenzamos construyen las matrices M y M* a partir de las ecuaciones implícitas de los planos \pi_1:~2x-5y-4z-9=0 y \pi_2:~x=0:

M=\begin{pmatrix}2&-5&-4\\1&0&0\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&-5&-4&-9\\1&0&0&0\end{pmatrix}

El rango de M es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-5\\1&0\end{vmatrix}=5\neq0, luego, los dos planos se cortan en según una recta.

Por otra partes, el ángulo que forman ambos planos es igual al ángulo que forman sus normales, \vec n_1=(2,-5,-4)\text{ y }\vec n_2=(1,0,0). Calculamos dicho ángulo con la fórmula del producto escalar de vectores:

\boxed{\cos(\alpha)=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}}

\vec n_1\cdot\vec n_2=2\cdot1+(-5)\cdot0+(-4)\cdot0=2\\|\vec n_1|=\sqrt{2^2+(-5)^2+(-4)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5\\|\vec n_2|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1

Luego:

\alpha=\arccos\left(\dfrac2{3\sqrt5}\right)=72.7^\circ

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s