Problema 856

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que P(A)=0.2,~P(B)=0.4 y P(A\cup B)=0.5. Calcula P(\overline A),~P(\overline B),~P(A\cap B) y P(\overline A\cup\overline B). Razona si A y B son o no sucesos independientes.
b) La probabilidad de que un determinado jugador de fútbol marque gol desde el punto de penalti es p=0.7. Si lanza 5 penaltis, calcula las siguientes tres probabilidades: de que no marque ningún gol; de que marque por lo menos 2 goles; y de que marque 5 goles. Si lanza 2100 penaltis, calcula la probabilidad de que marque por lo menos 1450 goles. Se está asumiendo que los lanzamientos son sucesos independientes.


Solución:

a) Nos piden calcular las siguientes probabilidades:

  • P(\overline A)=1-P(A)=1-0.2=0.8
  • P(\overline B)=1-P(B)=1-0.4=0.6
  • P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0.2+0.4-0.5=0.1

Para la última probabilidad, utilizamos una de las leyes de Morgan:

  • P(\overline A\cup\overline B)=P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=1-0.1=0.9

Dos sucesos A y B se dice que son independientes si:

\boxed{P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}

En nuestro caso:

  • P(A\cap B)=0.1
  • P(A)\cdot P(B)=0.2\cdot0.4=0.08\neq P(A\cap B)

Luego, A y B no son dos sucesos independientes.


b) Es un problema de distribución binomial B(n,p) donde n=5 y la probabilidad p=0.7, donde la probabilidad de tener k éxitos al hacer n lanzamientos es:

\boxed{P[x=k]={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}}

siendo q=1-p=0.3.

Nos piden las siguientes probabilidades:

  • Marcar 0 goles:
    \displaystyle P[x=0]={5\choose0}\cdot0.7^00.3^5=0.00243
  • Marcar al menos 2 goles:
    P[x\geq2]=1-P[x=0]-P[x=1]
    Calculamos P[x=1]:
    \displaystyle P[x=1]={5\choose1}\cdot0.7^1\cdot0.3^4=0.02835
    Luego:
    P[x\geq2]=1-0.00243-0.02835=0.9692
  • Marcar 5 goles:
    \displaystyle P[x=5]={5\choose5}\cdot0.7^5\cdot0.3^0=0.168

En el caso de que se lancen 2100 penaltis hay que hacer la aproximación de la binomial a la normal B(n,p)\rightarrow N(np,\sqrt{npq}), donde n=2100 y p=0.7. Nos piden la probabilidad P[x\geq1450].
Comenzamos tipificando el valor de x teniendo en cuenta la corrección por continuidad con la fórmula:

\boxed{z=\dfrac{(x-0.5)-\mu}{\sigma}}

siendo:

  • \mu=np=2100\cdot0.7=1470
  • \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{2100\cdot0.7\cdot0.3}=21

Si x=1450, entonces:

z=\dfrac{(1450-0.5)-1470}{21}=-0.9762

Luego:

P[x\geq1450]=P[z\geq-0.9762]=P[z<0.9762]

Interpolando en la tabla de probabilidades de la distribución normal, obtenemos:

P[z<0.9762]=0.8356

que es la probabilidad de marcar al menos 1450 goles.

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