Problema 857

a) Dada la matriz M=\begin{pmatrix}m&m+4\\1&1\end{pmatrix}, calcula los valores de m para que la matriz inversa de M sea \frac14M.

b) Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}3&0&1\end{pmatrix} y C=\begin{pmatrix}4&-2&0\end{pmatrix}, calcula la matriz X que verifica: B^tAX+C^t=X, siendo B^t y C^t las traspuestas de B y C respectivamente.


Solución:

a) La matriz inversa M^{-1} es tal que:

\boxed{MM^{-1}=I}

Dado que M^{-1}=\frac14M, entonces:

M\cdot\dfrac14M=\dfrac14M^2=I

siendo I la matriz identidad de orden 2, y de donde:

M^2=4I=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}

Calculamos M²:

M^2=\begin{pmatrix}m&m+4\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m&m+4\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m^2+m+4&m(m+4)+(m+4)\\m+1&m+4+1\end{pmatrix}~;\\\\M^2=\begin{pmatrix}m^2+m+4&(m+4)(m+1)\\m+1&m+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}

De esta última igualdad obtenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}m^2+m+4=4\\(m+4)(m+1)=0\\m+1=0\\m+5=4\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}m(m+1)=0\\(m+4)(m+1)=0\\m+1=0\\m+5=4\end{array}\right.

Sistema cuya solución es m=-1.


b) De la ecuación matricial B^tAX+C^t=X comenzamos despejando la matriz X:

B^tAX+C^t=X~;\\\\X-B^tAX=C^t~;\\\\(I-B^tA)X=C^t~;\\\\X=(I-B^tA)^{-1}C^t

Comenzamos calculando B^tA:

B^tA=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&0&3\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}

Ahora calculamos I-B^tA:

I-B^tA=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3&0&3\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0&-3\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}

Llamamos D a la matriz I-B^tA, luego su inversa es:

\boxed{D^{-1}=\dfrac1{|D|}\cdot(\text{Adj}D)^t}

|D|=\begin{vmatrix}4&0&-3\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}=3

\text{Adj}D=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&3&0\\3&0&4\end{pmatrix}

Luego:

D^{-1}=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}0&0&3\\0&3&0\\-1&0&4\end{pmatrix}=(I-B^tA)^{-1}

Por último:

X=(I-B^tA)^{-1}C^t=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}0&0&3\\0&3&0\\-1&0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\-2\\0\end{pmatrix}=\dfrac13\begin{pmatrix}0\\-6\\-4\end{pmatrix}

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