Problema 858

a) Calcula: intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de f(x)=\dfrac{x-1}{x^2}.

b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=x^2-4x y la recta y=x-4. (Para representar la parábola indica: puntos de corte con los ejes, vértice y curvatura).


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de una función comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=\dfrac{x^2-(x-1)2x}{(x^2)^2}=\dfrac{x^2-2x^2+2x}{x^4}=\dfrac{-x^2+2x}{x^4}=\dfrac{-x+2}{x^3}=0~;\\\\-x+2=0~;\\\\x=2

Teniendo en cuenta que el dominio de f es \mathbb R\setminus\{0\}, y el punto crítico calculado antes, la tabla de monotonía que resulta es la siguiente:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (0,2)
  • f decrece en (-\infty,0)\cup(2,+\infty).

Se observa un máximo en el punto (2,f(2))=(2,\frac14).


b) La función cuadrática y=x^2-4x gráficamente es una parábola convexa cuyo vértice está en:

x_v=\dfrac{-(-4)}{2\cdot1}=2

y su ordenada es:

y_v=2^2-4\cdot2=-4

Es decir, el vértice es (2,-4).
Calculamos ahora los puntos de corte:

  • Puntos de corte con el eje x (y=0):
    0=x^2-4x~;\\0=x(x-4)~;\\x=0,~x=4
    Es decir, en los puntos (0,0) y (4,0).
  • Punto de corte con el eje y (x=0):
    y=0^2-4\cdot0~;\\y=0
    Es decir, en el punto (0,0).

Por otro lado, calculamos donde la recta y=x-4 corta a la parábola igualando ambas funciones:

x^2-4x=x-4~;\\x^2-5x+4=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=4, es decir, en los puntos (1,-3) y (4,0) por donde pasan tanto la parábola como la recta.
Con todos los datos obtenidos podemos hacer un esbozo de la gráfica semejante a la siguiente gráfica:p858

El área S de la región encerrada por la recta y la parábola es:

\displaystyle S=\int_1^4(x-4)-(x^2-4x)~dx=\int_1^4-x^2+5x-4~dx=\\\\=\left[\dfrac{-x^3}3+\dfrac{5x^2}2-4x\right]_1^4=\\\\=\left(\dfrac{-4^3}3+\dfrac{5\cdot4^2}2-4\cdot4\right)-\left(\dfrac{-1^3}3+\dfrac{5\cdot1^2}2-4\cdot1\right)=\\\\=\dfrac83-\dfrac{-11}6=\dfrac92\text{ u.a.}

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