Problema 859

a) Determina el valor de λ para que los puntos A(3,0,-1), B(2,2,-1), C(1,-2,-5) y D(λ,6,-1) sean coplanarios y calcula la ecuación implícita o general del plano que los contiene.

b) Determina la posición relativa del plano \pi:~4x+2y-3z-15=0 y la recta r que pasa por los puntos P(-4,4,2) y Q(4,8,-4). Si se cortan, calcular el punto de corte.

c) Calcula el punto simétrico del punto P(-4,4,2) respecto del plano \pi:~4x+2y-3z-15=0.


Solución:

a) Para que A, B, CD sean 4 puntos coplanarios entonces los vectores \overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\text{ y }\overrightarrow{AD} también deben serlo, y tres vectores son coplanarios si uno de ellos es combinación lineal de los otros dos. Para que esto ocurra, la matriz formada por estos tres vectores han de tener determinante nulo:

\overrightarrow{AB}=(2,2,-1)-(3,0,-1)=(-1,2,0)\\\overrightarrow{AC}=(1,-2,-5)-(3,0,-1)=(-2,-2,-4)\\\overrightarrow{AD}=(\lambda,6,-1)-(3,0,-1)=(\lambda-3,6,0)

\begin{vmatrix}-1&2&0\\-2&-2&-4\\\lambda-3&6&0\end{vmatrix}=-8(\lambda-3)-24=0~;\\\\-8(\lambda-3)=24~;\\\\\lambda-3=-3~;\\\\\lambda=0

Luego, si λ=0 los cuatro puntos son coplanarios.

Para construir el plano que contiene a los cuatro puntos necesitamos un punto y dos vectores directores. Utilizaremos el punto A(3,0,-1) y los vectores \overrightarrow{AB}=(-1,2,0) y \overrightarrow{AC}=(-2,-2,-4).

\begin{vmatrix}x-3&y&z+1\\-1&2&0\\-2&-2&-4\end{vmatrix}=-2\cdot\begin{vmatrix}x-3&y&z+1\\-1&2&0\\1&1&2\end{vmatrix}=\\\\=-2(4(x-3)-(z+1)-2(z+1)+2y)=0~;\\\\4x-12-3(z+1)+2y=0~;\\\\\boxed{4x+2y-3z-15=0}


b) Primero calculamos la recta r en forma paramétrica sabiendo que pasa por el punto P(-4,4,2) y tiene vector director \vec v_r uno proporcional al vector \overrightarrow{PQ}:

\overrightarrow{PQ}=(4,8,-4)-(-4,4,2)=(8,4,-6)\\\vec v_r=\dfrac12\overrightarrow{PQ}=(4,2,-3)

r:~\left\{\begin{array}{l}x=-4+4\lambda\\y=4+2\lambda\\z=2-3\lambda\end{array}\right.

Sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

4(-4+4\lambda)+2(4+2\lambda)-3(2-3\lambda)-15=0~;\\\\-16+16\lambda+8+4\lambda-6+9\lambda-15=0~;\\\\29\lambda-29=0~;\\\\\lambda=1

Al tener la ecuación solución única significa que recta y plano se cortan en un solo punto. Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos las coordenadas del punto de corte:

(x,y,z)=(0,6,-1)


c) Comenzamos calculando una recta s perpendicular a π que pase por P:

  • Por ser perpendicular a π, el vector director de la recta s es proporcional al vector normal del plano:
    \vec v_s=\vec n=(4,2,-3)
  • La recta s ha de pasar por P(-4,4,2).

Así tenemos ya las paramétricas de s:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=-4+4\lambda\\y=4+2\lambda\\z=2-3\lambda\end{array}\right.

Resulta que la recta s es la misma que la recta r del apartado b), y esto es útil ya que el siguiente paso es calcular el punto de corte M entre la recta y el plano, que también se calculó en el apartado anterior:

M=(0,6,-1)

p120

El punto M es el punto medio entre P y su simétrico P‘, luego, utilizando la fórmula del punto medio:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=2(0,6,-1)-(-4,4,2)~;\\\\\boxed{P'=(4,8,-4)}

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