Problema 860

En una tienda de unos grandes almacenes están mezclados para la venta 200 bufandas de la marca A, 150 de la marca B y 50 de la marca C. La probabilidad de que una bufanda de la marca A sea defectuosa es 0.01; 0.02 para la marca B y 0.04 para la marca C. Una persona elije una bufanda al azar.

a) Calcula la probabilidad de que la bufanda elegida sea de la marca A o esté defectuosa.
b) Calcula la probabilidad de que la bufanda elegida no sea defectuosa ni de la marca C.
c) Si la bufanda elegida no está defectuosa, calcula la probabilidad de que sea de la marca B.


Solución:

En total hay 400 bufandas mezcladas. Sea A el suceso “coger una bufanda de la marca A“, B el suceso “coger una bufanda de la marca B“, C el suceso “coger una bufanda de la marca C” y D el suceso “coger una bufanda defectuosa”.
Según el enunciado tenemos las siguientes probabilidades:

\bullet~P[A]=\dfrac{200}{400}=0.5\\\\\bullet~P[B]=\dfrac{150}{400}=0.375\\\\\bullet~P[C]=\dfrac{50}{400}=0.125\\\\\bullet~P[D/A]=0.01\\\\\bullet~P[D/B]=0.02\\\\\bullet~P[D/C]=0.04

a) Nos piden la probabilidad de que una bufanda cogida al azar sea de la marca A o esté defectuosa P[A\cup D]:

P[A\cup D]=P[A]+P[D]-P[A\cap D]

Calculamos la probabilidad total del suceso D:

P[D]=P[A]\cdot P[D/A]+P[B]\cdot P[D/B]+P[C]\cdot P[D/B]=\\\\=0.5\cdot0.01+0.375\cdot0.02+0.125\cdot0.04\\\\P[D]=0.0175

Y utilizando la fórmula de la probabilidad condicionada:

P[D/A]=\dfrac{P[A\cap D]}{P[A]}~;\\\\P[A\cap D]=P[A]\cdot P[D/A]=0.5\cdot0.01=0.005

Luego:

P[A\cup D]=0.5+0.0175-0.005=\boxed{0.5125}


b) Nos piden la probabilidad de la bufanda cogida no sea defectuosa ni de la marca C, P[\overline D\cap\overline C]. Utilizando una de las dos leyes de Morgan:

P[\overline D\cap\overline C]=P[\overline{D\cup C}]\qquad(1)

Pero:

P[\overline{D\cup C}]=1-P[D\cup C]

y

P[D\cup C]=P[D]+P[C]-P[D\cap C]

La probabilidad de la intersección es:

P[D\cap C]=P[C]\cdot P[D/C]=0.125\cdot0.04=0.005

luego:

P[D\cup C]=0.0175+0.125-0.005=0.1375

Sustituyendo en (1):

P[\overline D\cap\overline C]=P[\overline{D\cup C}]=1-0.1375=\boxed{0.8625}


c) Nos piden la probabilidad de que la bufanda cogida sea de la marca B si esta no esta defectuosa, P[B/\overline D]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[B/\overline D]=\dfrac{P[B]\cdot P[\overline D/B]}{P[\overline D]}\qquad(2)

Siendo:

P[\overline D]=1-P[D]=1-0.0175=0.9825

y

P[D/B]+P[\overline D/B]=1~;\\\\P[\overline D/B]=1-P[D/B]=1-0.02=0.98

entonces, sustituyendo en (2):

P[B/\overline D]=\dfrac{0.375\cdot0.98}{0.9825}=\boxed{0.374}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s