Problema 861

a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{array}{ll}3x-6y+mz&=0\\x-2y+z&=0\\x+y&=m\end{array}\right.$

b) Resuélvelo, si es posible, cuando m=3.

Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial $(MX=N)$ :

$\begin{pmatrix}3&-6&m\\1&-2&1\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\m\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M en función de m utilizando determinantes:

$\begin{vmatrix}3&-6&m\\1&-2&1\\1&1&0\end{vmatrix}=-6+m+2m-3=3m-9$

Determinante que se anula para m=3. Luego:

Si m≠3, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n y el sistema es compatible determinado.
Si m=3, entonces $M=\begin{pmatrix}3&-6&3\\1&-2&1\\1&1&0\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}-2&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq0.$
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}-6&3&0\\-2&1&0\\1&0&3\end{vmatrix}=3\cdot(-6+6)=0$
Luego, el rango de la matriz ampliada M* es 2 también, luego, el sistema es compatible indeterminado.