a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones:
b) Resuélvelo, si es posible, cuando m=3.
Solución:
a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial :
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M en función de m utilizando determinantes:
Determinante que se anula para m=3. Luego:
- Si m≠3, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n y el sistema es compatible determinado.
- Si m=3, entonces
cuyo rango es 2 ya que
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Luego, el rango de la matriz ampliada M* es 2 también, luego, el sistema es compatible indeterminado.
b) Si m=3 el sistema es compatible indeterminado como se vio en el apartado a):
es equivalente a
Parametrizamos :
de donde obtenemos la solución:
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