Problema 861

Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones II,

a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{ll}3x-6y+mz&=0\\x-2y+z&=0\\x+y&=m\end{array}\right.

b) Resuélvelo, si es posible, cuando m=3.

Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}3&-6&m\\1&-2&1\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\m\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M en función de m utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}3&-6&m\\1&-2&1\\1&1&0\end{vmatrix}=-6+m+2m-3=3m-9

Determinante que se anula para m=3. Luego:

  • Si m≠3, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=3, entonces M=\begin{pmatrix}3&-6&3\\1&-2&1\\1&1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-2&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-6&3&0\\-2&1&0\\1&0&3\end{vmatrix}=3\cdot(-6+6)=0
    Luego, el rango de la matriz ampliada M* es 2 también, luego, el sistema es compatible indeterminado.

b) Si m=3 el sistema es compatible indeterminado como se vio en el apartado a):

\left\{\begin{array}{ll}3x-6y+3z&=0\\x-2y+z&=0\\x+y&=3\end{array}\right.

es equivalente a

\left\{\begin{array}{ll}x-2y+z&=0\\x+y&=3\end{array}\right.

Parametrizamos x=\lambda:

\left\{\begin{array}{ll}-2y+z&=-\lambda\\y&=3-\lambda\end{array}\right.

de donde obtenemos la solución:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=3-\lambda\\z=6-3\lambda\end{array}\right.

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