Problema 862

a) Calcula a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right. sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta 2x+3y=8.

c) Calcula \int_0^3x\sqrt{x+1}~dx.


Solución:

a) Para que f sea continua en x=0 han de ser iguales los tres resultado siguientes:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac12(x^2+2)=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}e^{2x}+ax+b=e^0+b=1+b\\\bullet~f(0)=\dfrac12(0^2+2)=1

es decir:

1+b=1~;\\\\b=0

Para estudiar la derivabilidad de f comenzamos calculando la derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2e^{2x}+a&\text{si}&x<0\\x&\text{si}&x>0\end{array}\right.

f será derivable en x=0 si los siguientes límites son iguales:

\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}x=0\\\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}2e^{2x}+a=2e^0+a=2+a

entonces:

2+a=0~;\\\\a=-2

Luego, para que f sea continua y derivable en x=0, ha de ser \boxed{a=-2,~b=0}.


b) En la siguiente gráfica representamos la recta 2x+3y=8 que pasa por los puntos (4,0) y (1,2), así como el rectángulo que tiene un vértice en el origen de coordenadas, dos lados sobre los ejes y otro vértice sobre la recta:

p862

Los vértices del rectángulo tienen coordenadas:

\bullet~(0,0)\\\bullet~(x,0)\\\bullet~(0,y)\\\bullet~(x,y)

Nos piden maximizar el área del rectángulo.
El área de este rectángulo es:

A=x\cdot y

pero al estar uno de los vértices sobre la recta, la coordenada y de dicho vértice, y la de su proyección sobre el eje y, ha de verificar la ecuación de la recta:

2x+3y=8~;\\\\y=\dfrac{8-2x}3

Luego, el área en función de x es:

A(x)=x\cdot\dfrac{8-2x}3=\dfrac{8x-2x^2}3

Para maximizar el área comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

A'(x)=\dfrac{8-4x}3=0~;\\\\8-4x=0~;\\\\x=2

Comprobamos que este punto crítico corresponde a un máximo en la función área utilizando el test de la derivada segunda:

A''(x)=\dfrac{-4}3\\\\A''(2)=\dfrac{-4}3<0

Luego, según el test, la función área se hace máxima para x=2 siendo

y=\dfrac{8-2\cdot2}3=\dfrac43

y los vértices del rectángulo son:

\bullet~(0,0)\\\bullet~(2,0)\\\bullet~(0,\frac43)\\\bullet~(2,\frac43)


c) Para resolver esta integral hacemos un cambio de variable:

\boxed{t^2=x+1}\\\\x=t^2-1\rightarrow dx=2t~dt\\\\x=0\rightarrow t=1\\x=3\rightarrow t=2

Luego (recordar la tabla de integrales inmediatas):

\displaystyle\int_0^3x\sqrt{x+1}~dx=\int_1^2(t^2-1)t\cdot2t~dt=\\\\=\int_1^22t^4-2t^2~dt=\left[\dfrac{2t^5}5-\dfrac{2t^3}3\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{2\cdot2^5}5-\dfrac{2\cdot2^3}3\right)-\left(\dfrac{2\cdot1^5}5-\dfrac{2\cdot1^3}3\right)=\\\\=\dfrac{112}{15}-\dfrac{-4}{15}=\boxed{\dfrac{116}{15}}

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