Problema 863

a) Dado el plano \pi:~2x-y-2z-3=0, calcula el valor de a para que la recta r que pasa por los puntos P(a,a,a) y Q(1,3,0) sea paralela al plano π.

b) Para a=1, calcula la distancia de r a π.

c) Para a=1, calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a π y contiene a r.


Solución:

a) Para que una recta r sea paralela a un plano π, el vector director de la recta ha de ser perpendicular al vector normal del plano:

\boxed{r\parallel\pi\leftrightarrow\vec v_r\perp\vec n_{\pi}}

El vector normal de π es \vec n=(2,-1,-2), y el vector director de la recta r es:

\vec v_r=\overrightarrow{PQ}=(1,3,0)-(a,a,a)=(1-a,3-a,-a)

Aplicando la condición de perpendicularidad de vectores a \vec v_r y \vec n nos queda:

\vec v_r\cdot\vec n=0\\(2,-1,-2)\cdot(1-a,3-a,-a)=2(1-a)-(3-a)+2a=\\\\=2-2a-3+a+2a=-1+a=0

de donde nos queda a=1.


b) Como se vio en el apartado anterior, para a=1, la recta y el plano son paralelos.
La distancia de r a π, según se explica aquí, es igual a la distancia de un punto cualquiera de r, por ejemplo Q(1,3,0), hasta el plano \pi:~2x-y-2z-3=0, es decir:

d(r,\pi)=d(Q,\pi)

Según se explica aquí, la distancia de Q a π es:

d(Q,\pi)=\dfrac{|2\cdot1-3-2\cdot0-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\dfrac{|-4|}3=\dfrac43

Es decir, que la distancia de r a π es \frac43 u.l.


c) El plano α que buscamos se construye con un punto y dos vectores directores.
Por contener a la recta r, el plano α se construye con un punto de r, Q(1,3,0), y su vector director \vec v_r=(1-a,3-a,-a) que con a=1 es \vec v_r=(0,2,-1).
Para que α sea perpendicular a π, el otro vector director de α será el vector normal de π: \vec n=(2,-1,-2).
Luego, la ecuación en forma vectorial de α es:

\alpha:~(x,y,z)=(1,3,0)+\lambda(0,2,-1)+\mu(2,-1,-2)

y en forma implícita o general:

\begin{vmatrix}x-1&y-3&z\\0&2&-1\\2&-1&-2\end{vmatrix}=-4(x-1)-2(y-3)-4z-(x-1)=\\\\=-5(x-1)-2(y-3)-4z=-5x+5-2y+6-4z=\\\\=-5x-2y-4z+11

es decir:

\boxed{\alpha:~-5x-2y-4z+11=0}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s