Problema 864

a) Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con 4 respuestas de las cuales solo una es correcta. Si se contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de contestar bien por lo menos dos preguntas?

b) La duración de un cierto tipo de pilas eléctricas es una variable que sigue una distribución normal de media 50 horas y desviación típica 5 horas. Calcula la probabilidad de que una pila eléctrica de este tipo, elegida al azar, dure menos de 42 horas.


Solución:

a) Es un problema de distribución binomial B(n,p) donde la probabilidad de acierto es p=\frac14=0.25 y el número de medidas es n=10.

Recordemos que en un problema de distribución binomial, si la probabilidad de que ocurra un suceso es p, la probabilidad de que en n intentos ocurra k veces ese suceso es:

\boxed{P[x=k]={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}}

siendo q=1-p.

Nos piden la probabilidad de contestar al menos 2 preguntas bien P[x\geq2], lo que equivale a:

P[x\geq2]=1-P[x=0]-P[x=1]

\displaystyle P[x=0]={10\choose0}\cdot0.25^0\cdot0.75^{10}=0.0563

\displaystyle P[x=1]={10\choose1}\cdot0.25^1\cdot0.75^9=0.1877

Luego:

P[x\geq2]=1-0.0563-0.1877=0.756


b) En una distribución normal N(50,5) nos piden la probabilidad P[x<42].
Primero tipificamos el valor x=42 con la fórmula:

\boxed{z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}}

z=\dfrac{42-50}5=-1.6

Luego:

P[x<42]=P[z<-1.6]

Dado que P[z<-a]=1-P[z<a], entonces:

P[x<42]=P[z<-1.6]=1-P[z<1.6]

Y según se indica en la tabla de probabilidades:

P[x<42]=1-P[z<1.6]=1-0.9452=\boxed{0.0548}

 

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