Problema 865

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}

a) ¿Qué relación existe entre su inversa A⁻¹ y su traspuesta A^t?
b) Estudia, según los valores de λ, el rango de A-\lambda I, siendo I la matriz identidad de orden 3. Calcular las matrices X que verifican AX+X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}


Solución:

a) La matriz traspuesta de A es:

A^t=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}

Multiplicamos A y su traspuesta:

AA^t=A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I

Como AA^t=I entonces A^t=A^{-1}. La matriz A se dice que es ortogonal.


b) Calculamos la matriz A-\lambda I:

A-\lambda I=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\lambda&0&-1\\-1&-\lambda&0\\0&-1&-\lambda\end{pmatrix}

Calculamos el rango de esta matriz en función de λ utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}-\lambda&0&-1\\-1&-\lambda&0\\0&-1&-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3-1

determinante que se anula para el valor real λ=-1, luego:

  • Si λ≠-1, el rango de A-\lambda I es 3.
  • Si λ=1, tenemos A-(-1)I=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que:
    \begin{vmatrix}1&0\\-1&1\end{vmatrix}=1\neq0

Por otra parte, nos piden resolver la ecuación matricial AX+X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.
Despejamos la matriz X:

(A+I)X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

La matriz A+I es la matriz A-\lambda I con λ=-1. Escribimos la ecuación en forma desarrollada:

(A+I)X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

Esta ecuación matricial da lugar al siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x-z&=0\\-x+y&=0\\-y+z&=0\end{array}\right.

Sistema equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x-z&=0\\-x+y&=0\end{array}\right.

Para resolverlo parametrizamos z=\mu:

\left\{\begin{array}{rl}x&=\mu\\-x+y&=0\end{array}\right.

de donde obtenemos la solución: (x,y,z)=(\mu,\mu,\mu), y de donde, la matriz X es:

X=\begin{pmatrix}\mu\\\mu\\\mu\end{pmatrix}

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