Problema 866

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II, , , , ,

a) Enuncia el teorema de Rolle. Calcula a, b y c para que la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x^2+ax&\text{si}&x<1\\bx+c&\text{si}&x\geq1\end{array}\right.

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,2] y calcula el punto en el que se cumple el teorema.

b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=x^2-2x y la recta y=x. (Para dibujar la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y la concavidad y convexidad).

Solución:

a) Ver el enunciado del teorema de Rolle aquí.
Para que f cumpla las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0,2], f ha de ser continua en [0,2] y derivable en (0,2), en particular en x=1.
Estudiamos la continuidad en x=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}bx+c=b+c\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}2x^2+ax=2+a\\\bullet~f(1)=b\cdot 1+c=b+c

Para que f sea continua en x=1 ha de ser b+c=2+a.
Escribimos la derivada de f para estudiar su derivabilidad:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}4x+a&\text{si}&x<1\\b&\text{si}&x>1\end{array}\right.

Estudiamos la derivabilidad de f en x=1:

\displaystyle\bullet~f'(1^+)=\lim_{x\rightarrow1^+}b=b\\\bullet~f'(1^-)=\lim_{x\rightarrow1^-}4x+a=4+a

Para que f sea derivable en x=1 ha de ser b=4+a.

Tenemos ya dos ecuaciones:

\left\{\begin{array}{c}b+c=2+a\\b=4+a\end{array}\right.

Nos falta otra ecuación. Utilizamos la ecuación f(0)=f(2):

\bullet~f(0)=2\cdot0^2+a\cdot0=0\\\bullet~f(2)=b\cdot2+c=2b+c

de donde obtenemos:

0=2b+c

Tenemos así el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{c}b+c=2+a\\b=4+a\\0=2b+c\end{array}\right.

De la segunda ecuación tenemos a=b-4 y de la tercera c=-2b. Sustituyendo en la primera ecuación:

b-2b=2+b-4~;\\\\-2b=-2~;\\\\b=1

de donde a=1-4=-3 y c=-2·1=-2. En resumen, con \boxed{(a,b,c)=(-3,1,-2)}, la función f cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0,2].

Calculamos el valor x_0 para el que f'(x_0)=0. La función derivada es:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}4x-3&\text{si}&x<1\\1&\text{si}&x>1\end{array}\right.

Igualamos la derivada a 0 y resolvemos:

\bullet~4x-3=0\rightarrow x=\dfrac34\\\\\bullet~1=0!!!

El punto en el que se cumple el teorema es \boxed{x_0=\frac34}.

b) La función cuadrática y=x^2-2x gráficamente es una parábola convexa, ya que el coeficiente que acompaña al monomio de segundo grado es positivo.
Tiene vértice \left(x_v=\dfrac{-b}{2a}\right), en x_v=\dfrac{-(-2)}{2\cdot1}=1 con ordenada y_v=1^2-2\cdot1=-1, es decir, en el punto (1,-1).
Calculamos los puntos de corte con los ejes:

  • Punto de corte con el eje x (y=0):
    0=x^2-2x~;\\0=x(x-2)
    Es decir en x=0, x=2, en los puntos (0,0) y (2,0).
  • Punto de corte con el eje y (x=0):
    y=0^2-2\cdot0=0
    Es decir, en el punto (0,0).

Por otro lado la recta y=x pasa por los puntos (0,0) y (1,1).

Con todos estos datos representamos ambas funciones:

p866

Para calcular el área que encierran la recta y la parábola, primero calculamos los puntos en los que se cortan ambas gráficas igualando ambas funciones y resolviendo:

x^2-2x=x~;\\\\x^2-3x=0~;\\\\x(x-3)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=3, luego, el área S encerrada por ambas gráficas es:

\displaystyle S=\int_0^3(x)-(x^2-2x)~dx=\int_0^33x-x^2~dx=\left[\dfrac{3x^2}2-\dfrac{x^3}3\right]_0^3=\\\\=\left(\dfrac{3\cdot3^2}2-\dfrac{3^3}3\right)-\left(\dfrac{3\cdot0^2}2-\dfrac{0^3}3\right)=\\\\=\dfrac{27}2-9=\boxed{\dfrac92\text{ u.a.}}

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