a) Enuncia el teorema de Rolle. Calcula a, b y c para que la función
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,2] y calcula el punto en el que se cumple el teorema.
b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y la recta
. (Para dibujar la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y la concavidad y convexidad).
Solución:
a) Ver el enunciado del teorema de Rolle aquí.
Para que f cumpla las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0,2], f ha de ser continua en [0,2] y derivable en (0,2), en particular en x=1.
Estudiamos la continuidad en x=1:
Para que f sea continua en x=1 ha de ser .
Escribimos la derivada de f para estudiar su derivabilidad:
Estudiamos la derivabilidad de f en x=1:
Para que f sea derivable en x=1 ha de ser .
Tenemos ya dos ecuaciones:
Nos falta otra ecuación. Utilizamos la ecuación :
de donde obtenemos:
Tenemos así el siguiente sistema:
De la segunda ecuación tenemos y de la tercera
. Sustituyendo en la primera ecuación:
de donde a=1-4=-3 y c=-2·1=-2. En resumen, con , la función f cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0,2].
Calculamos el valor para el que
. La función derivada es:
Igualamos la derivada a 0 y resolvemos:
El punto en el que se cumple el teorema es .
b) La función cuadrática gráficamente es una parábola convexa, ya que el coeficiente que acompaña al monomio de segundo grado es positivo.
Tiene vértice , en
con ordenada
, es decir, en el punto (1,-1).
Calculamos los puntos de corte con los ejes:
- Punto de corte con el eje x (y=0):
Es decir en x=0, x=2, en los puntos (0,0) y (2,0). - Punto de corte con el eje y (x=0):
Es decir, en el punto (0,0).
Por otro lado la recta pasa por los puntos (0,0) y (1,1).
Con todos estos datos representamos ambas funciones:
Para calcular el área que encierran la recta y la parábola, primero calculamos los puntos en los que se cortan ambas gráficas igualando ambas funciones y resolviendo:
Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=3, luego, el área S encerrada por ambas gráficas es:
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