a) Enuncia el teorema de Rolle. Calcula a, b y c para que la función
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,2] y calcula el punto en el que se cumple el teorema.
b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola 
Solución:
a) Ver el enunciado del teorema de Rolle aquí.
Para que f cumpla las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0,2], f ha de ser continua en [0,2] y derivable en (0,2), en particular en x=1.
Estudiamos la continuidad en x=1:
Para que f sea continua en x=1 ha de ser 
Escribimos la derivada de f para estudiar su derivabilidad:
Estudiamos la derivabilidad de f en x=1:
Para que f sea derivable en x=1 ha de ser 
Tenemos ya dos ecuaciones:
Nos falta otra ecuación. Utilizamos la ecuación 
de donde obtenemos:
Tenemos así el siguiente sistema:
De la segunda ecuación tenemos 
de donde a=1-4=-3 y c=-2·1=-2. En resumen, con 
Calculamos el valor 
Igualamos la derivada a 0 y resolvemos:
El punto en el que se cumple el teorema es 
b) La función cuadrática
Tiene vértice 
Calculamos los puntos de corte con los ejes:
- Punto de corte con el eje x (y=0):
Es decir en x=0, x=2, en los puntos (0,0) y (2,0). - Punto de corte con el eje y (x=0):
Es decir, en el punto (0,0).
Por otro lado la recta
Con todos estos datos representamos ambas funciones:
Para calcular el área que encierran la recta y la parábola, primero calculamos los puntos en los que se cortan ambas gráficas igualando ambas funciones y resolviendo:
Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=3, luego, el área S encerrada por ambas gráficas es:
![\displaystyle S=\int_0^3(x)-(x^2-2x)~dx=\int_0^33x-x^2~dx=\left[\dfrac{3x^2}2-\dfrac{x^3}3\right]_0^3=\\\\=\left(\dfrac{3\cdot3^2}2-\dfrac{3^3}3\right)-\left(\dfrac{3\cdot0^2}2-\dfrac{0^3}3\right)=\\\\=\dfrac{27}2-9=\boxed{\dfrac92\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E3%28x%29-%28x%5E2-2x%29%7Edx%3D%5Cint_0%5E33x-x%5E2%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D2-%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D3%5Cright%5D_0%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B3%5Ccdot3%5E2%7D2-%5Cdfrac%7B3%5E3%7D3%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B3%5Ccdot0%5E2%7D2-%5Cdfrac%7B0%5E3%7D3%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B27%7D2-9%3D%5Cboxed%7B%5Cdfrac92%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S=\int_0^3(x)-(x^2-2x)~dx=\int_0^33x-x^2~dx=\left[\dfrac{3x^2}2-\dfrac{x^3}3\right]_0^3=\\\\=\left(\dfrac{3\cdot3^2}2-\dfrac{3^3}3\right)-\left(\dfrac{3\cdot0^2}2-\dfrac{0^3}3\right)=\\\\=\dfrac{27}2-9=\boxed{\dfrac92\text{ u.a.}}")
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