Problema 867

Dada la recta r:~\left\{\begin{array}{l}x+y+z-2=0\\x-y+z-2=0\end{array}\right.

a) Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto A(1,1,1) y es perpendicular a la recta r.
b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos P(-1,0,6) y Q(3,-2,4) y es paralelo a la recta r.
c) Calcula la distancia de la recta r al plano x+y+z-5=0.


Solución:

a) Nos piden un plano π perpendicular a la recta r, por lo que el vector normal del plano \vec n será paralelo al vector director de la recta r:

\boxed{\pi\bot r\leftrightarrow\vec v_r\parallel\vec n}

Calculamos el vector director de r a partir de las ecuaciones implícitas de r:

\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=\vec\imath(1+1)+\vec\jmath(1-1)+\vec k(-1-1)=(2,0,-2)

Podemos simplificar este resultado de modo que nos queda el vector normal de π \vec n=(1,0,-1). Con este resultado ya tenemos los tres primeros coeficientes de la ecuación general del π:

\pi:~x-z+D=0

Para calcular D imponemos que el plano π pase por el punto A(1,1,1) sustituyendo sus coordenadas en la implícita de π:

1-1+D=0~;\\D=0

Luego, el plano buscado es \boxed{\pi:~x-z=0}.


b) Por ser paralelo a la recta r, el plano β que nos piden tiene un vector director paralelo al vector director de r, es decir, \vec v_1=(1,0,-1).
Por contener a los puntos P y Q, el plano β tendrá como segundo vector director un vector paralelo al vector \overrightarrow{PQ}.

\overrightarrow{PQ}=(3,-2,4)-(-1,0,6)=(4,-2,-2)

Luego, simplificando obtenemos el segundo vector director de β: \vec v_2=(2,-1,-1).
Además, el plano β que nos piden pasa por el punto P(-1,0,6).

Con todo esto tenemos la ecuación vectorial de β:

\beta:~(x,y,z)=(-1,0,6)+\lambda(1,0,-1)+\mu(2,-1,-1)

Ahora calculamos la ecuación implícita:

\begin{vmatrix}x+1&y&z-6\\1&0&-1\\2&-1&-1\end{vmatrix}=-2y-(z-6)+y-(x+1)=-x-y-z+5=0

De donde:

\boxed{\beta:~x+y+z-5=0}


c) Sabemos que r y β son paralelos, luego la distancia de r a β es la misma que la distancia de un punto cualquiera de r a β.
Para calcular un punto cualquiera de r, P_r, damos un valor cualquiera a una de las variables de las ecuaciones implícitas de r:

r:~\left\{\begin{array}{l}x+y+z-2=0\\x-y+z-2=0\end{array}\right.

por ejemplo, tomamos z=0, y calculamos x e y resolviendo el sistema:

\left\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\x-y-2=0\end{array}\right.

sistema cuya solución es (x,y)=(2,0), luego, P_r=(2,0,0)
Podemos calcular la distancia entre recta y plano con la fórmula 3 recogida aquí:

d(r,\beta)=d(P_r,\beta)=\dfrac{|2+0+0-5|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac3{\sqrt3}=\sqrt3\text{ u.l.}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s