Problema 868

En un bombo tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9 y cada vez que hacemos una extracción devolvemos la bola al bombo.

a) Si hacemos 5 extracciones, calcula la probabilidad de que el 7 salga menos de dos veces.
b) Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 7 salga menos de nueve veces.


Solución:

a) Se trata de un problema de distribución binomial B(n,p) donde n=5 y p=\frac1{10}=0.1 ya que haremos 5 extracciones con reemplazamiento y de las 10 bolas solo una tiene el número 7.

Recordemos que en un problema de distribución binomial, si la probabilidad de que ocurra un suceso es p, la probabilidad de que en n intentos ocurra k veces ese suceso es:

\boxed{P[x=k]={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}}

siendo q=1-p.

Nos piden la probabilidad de que al hacer 5 extracciones, al menos 2 veces salga el 7, es decir, P[x\geq2].
Esta probabilidad la podemos calcular así:

P[x\geq2]=P[x=2]+P[x=3]+P[x=4]+P[x=5]

o así:

P[x\geq2]=1-P[x=0]-P[x=1]

Calculamos la probabilidad por esta segunda forma:

\displaystyle P[x=0]={5\choose0}\cdot0.1^0\cdot0.9^{5-0}=0.5905\\\\P[x=1]={5\choose1}\cdot0.1^1\cdot0.9^{5-1}=0.3281

Luego:

P[x\geq2]=1-0.5905-0.3281=0.0814


b) Para un número elevado de extracciones recurrimos a la aproximación de la binomial a la normal: N(\mu,\sigma)=N(np,\sqrt{npq}).
En nuestro caso n=100 y p=0.1, igual que antes.

\mu=np=100\cdot0.1=10\\\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{100\cdot0.1\cdot0.9}=3

Nos piden la probabilidad de que en esta distribución salga el 7 menos de nueve veces, P[x<9]. Comenzamos tipificando este valor con la siguiente fórmula:

\boxed{z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}}

z=\dfrac{9-10}3=-0.333

Luego:

P[x<9]=P[z<-0.333]

Dado que P[z<-a]=1-P[z<a], entonces:

$latex P[x<9]=1-P[z<0.333]

Buscamos en la tabla de probabilidades este valor de z, resultando que interpolando obtenemos:

P[z<0.333]=0.6306

Luego, la probabilidad buscada es:

P[x<9]=1-0.6306=\boxed{0.3694}

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