Problema 869

a) Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}x+2y-z&=1\\x-z&=m\\x+y-z&=1\end{array}\right.

b) Resolverlo, si es posible, cuando m=1.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&2&-1\\1&0&-1\\1&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\m\\1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de las matrices de coeficiente y ampliada utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&2&-1\\1&0&-1\\1&1&-1\end{vmatrix}=-2-1+2+1=0

\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=-2\neq0

Luego, el rango de la matriz de coeficientes M es 2 para todo m real. Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&2&1\\1&0&m\\1&1&1\end{vmatrix}=2m+1-2-m=m-1

Determinante que se anula para m=1, luego:

  • Si m≠1, el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible.
  • Si m=1, el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.

b) Para m=1, el sistema es compatible indeterminado como se dijo antes. El sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x+2y-z&=1\\x-z&=1\\x+y-z&=1\end{array}\right.

Este sistema es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+2y-z&=1\\x-z&=1\end{array}\right.

Para resolvemos parametrizamos z=\lambda. De esta manera, el sistema queda:

\left\{\begin{array}{rl}x+2y&=1+\lambda\\x&=1+\lambda\end{array}\right.

de donde resulta x=1+\lambda y, sustituyendo en la primera ecuación:

1+\lambda+2y=1+\lambda~;\\\\2y=0~;\\\\y=0

Es decir, la solución es (x,y,z)=(1+\lambda,0,1+\lambda).

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