Problema 870

a) Calcula, si existe, el valor de m para que \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(2x)+mx^2-1}{\text{sen}(x^2)}=3.

b) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x)=ax^3+bx^2+cx+d tenga un punto de inflexión en el punto (0,5) y la tangente a la gráfica en el punto (1,1) sea paralela al eje x.

c) Calcula \int_1^e\sqrt x\ln x~dx.


Solución:

a) Calculamos el valor del límite:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(2x)+mx^2-1}{\text{sen}(x^2)}=\dfrac{\cos(2\cdot0)+m\cdot0^2-1}{\text{sen}(0^2)}=\dfrac{1-1}{0}=\dfrac00

Indeterminación que resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital (recordar la tabla de derivadas):

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(2x)+mx^2-1}{\text{sen}(x^2)}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{-\text{sen}(2x)\cdot2+2mx}{\cos(x^2)\cdot2x}=\\\\=\dfrac{-\text{sen}(2\cdot0)\cdot2+2m\cdot0}{\cos(0^2)\cdot2\cdot0}=\dfrac00

Utilizamos otra vez la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{-\text{sen}(2x)\cdot2+2mx}{\cos(x^2)\cdot2x}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{-\cos(2x)\cdot4+2m}{-\text{sen}(x^2)\cdot4x^2+\cos(x^2)\cdot2}=\\\\=\dfrac{-\cos(2\cdot0)\cdot4+2m}{-\text{sen}(0^2)\cdot4\cdot0^2+\cos(0^2)\cdot2}=\dfrac{-4+2m}{0+2}=-2+m

Igualamos este resultado a 3 y resolvemos:

-2+m=3~;\\\\\boxed{m=5}


b) Nos dicen que f tiene un punto de inflexión en el punto (0,5). Esto significa que:

  • f(0)=5
  • f''(0)=0

También nos dicen que la tangente a la gráfica de f en el punto (1,1) es paralela al eje x. El eje x tiene pendiente nula, luego, la recta tangente de la que hablan también tiene pendiente nula. Esto significa que:

  • f(1)=1
  • f'(1)=0

Desarrollamos estas cuatro ecuaciones. Primero escribimos las derivadas:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b

\begin{array}{ll}\bullet~f(0)=5&\rightarrow f(0)=d\\\bullet~f''(0)=0&\rightarrow f''(0)=2b\\\bullet~f(1)=1&\rightarrow f(1)=a+b+c+d\\\bullet~f'(1)=0&\rightarrow f'(1)=3a+2b+c\end{array}

Se forma así un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

\left\{\begin{array}{l}d=5\\2b=0\\a+b+c+d=1\\3a+2b+c=0\end{array}\right.

De la primera y segunda ecuaciones obtenemos b=0 y d=5. Sustituimos en las otras ecuaciones y resulta:

\left\{\begin{array}{l}a+c=-4\\3a+c=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es a=2 y c=-6.

En definitiva, la solución es \boxed{(a,b,c,d)=(2,0,-6,5)}.


c) Primero resolvemos la integral indefinida:

\displaystyle I=\int\sqrt x\ln x~dx

Utilizamos el método de integración por partes:

\boxed{\begin{array}{ll}u=\ln x&\rightarrow du=\dfrac1x~dx\\\\dv=\sqrt x~dx=x^{1/2}~dx&\rightarrow v=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2x^{3/2}}3\end{array}}

Entonces:

\displaystyle I=\dfrac{2x^{3/2}\ln x}3-\int\dfrac{2x^{3/2}}3\cdot\dfrac1x~dx=\\\\=\dfrac{2x^{3/2}\ln x}3-\int\dfrac{2x^{1/2}}3~dx=\\\\=\dfrac{2x^{3/2}\ln x}3-\dfrac{2x^{3/2}}{3\cdot3/2}=\\\\=\dfrac{2x^{3/2}\ln x}3-\dfrac{4x^{3/2}}9

Ya tenemos la integral indefinida, entonces, utilizando la regla de Barrow:

\displaystyle \int_1^e\sqrt x\ln x~dx=\left[\dfrac{2x^{3/2}\ln x}3-\dfrac{4x^{3/2}}9\right]_1^e=\\\\=\left(\dfrac{2e^{3/2}\ln e}3-\dfrac{4e^{3/2}}9\right)-\left(\dfrac{2\cdot1^{3/2}\ln 1}3-\dfrac{4\cdot1^{3/2}}9\right)=\\\\=\left(\dfrac{2\sqrt e^3}3-\dfrac{4\sqrt e^3}9\right)-\left(-\dfrac49\right)=\\\\=\dfrac{6\sqrt e^3}9-\dfrac{4\sqrt e^3}9+\dfrac49=\boxed{\dfrac{2\sqrt e^3+4}9}\approx1.44

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