Problema 871

Sea r la recta que pasa por los puntos P(9,4,1) y Q(1,1,1). Dada la recta s:~\frac{x-1}2=\frac y1=\frac{z-5}{-1}.

a) Estudia la posición relativa de las rectas r y s. Calcula, si se cortan, el punto de corte.
b) Calcula, si existe, la ecuación implícita o general del plano que contiene a las rectas r y s.
c) Calcula la distancia del punto O(0,0,0) a la recta s.


Solución:

a) Escribimos la recta r en forma paramétrica sabiendo que pasa por el punto Q(1,1,1) y tiene vector director \overrightarrow{PQ}:

\overrightarrow{PQ}=(1,1,1)-(9,4,1)=(-8,-3,0)

Luego:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1-8\lambda\\y=1-3\lambda\\z=1\end{array}\right.

Por otra parte la ecuación continua de s es equivalente a las siguientes dos ecuaciones implícitas:

s:~\left\{\begin{array}{l}x-1=2y\\-y=z-5\end{array}\right.

Para estudiar la posición relativa de r y s, sustituimos las paramétricas de r en las implícitas de s y resolvemos:

\left\{\begin{array}{l}1-8\lambda-1=2(1-3\lambda)\\-(1-3\lambda)=1-5\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}-8\lambda=2-6\lambda\\3\lambda=-3\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}\lambda=-1\\\lambda=-1\end{array}\right.

Como ambas ecuaciones tiene por solución un mismo y único valor de λ, entonces las dos rectas se cortan en un único punto.

rectas secantes

Para obtener el punto de corte, sustituimos el valor λ=-1 obtenido anteriormente en las paramétricas de r:

\left\{\begin{array}{l}x=9\\y=4\\z=1\end{array}\right.

Es decir, que el punto de corte de r y s es el punto P.


b) Dos rectas secantes están contenidas en un plano. A dicho plano lo llamamos β.
Este plano está formado por un punto cualquiera de las dos rectas y por los vectores directores de ambas rectas:

\beta=\{Q,\overrightarrow{PQ},\vec v_s\}

El vector director de s:~\frac{x-1}2=\frac y1=\frac{z-5}{-1} es \vec v_s=(2,1,-1).

Tenemos ya la ecuación vectorial del plano:

\beta:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(-8,-3,0)+\mu(2,1,-1)

Pero nos piden la ecuación implícita de dicho plano:

\begin{vmatrix}x-1&y-1&z-1\\-8&-3&0\\2&1&-1\end{vmatrix}=3(x-1)-8(y-1)-2(z-1)=3x-8y-2z+7

Luego:

\beta:~3x-8y-2z+7=0


c) Sabemos que la recta s:~\frac{x-1}2=\frac y1=\frac{z-5}{-1} pasa por el punto P_s=(1,0,5) y tiene vector director \vec v_s=(2,1,-1). Entonces, según se explica en la fórmula 5 de aquí, la distancia de O a s es:

\boxed{d(O,s)=\dfrac{|\vec v_s\times\overrightarrow{OP_s}|}{|\vec v_s|}}

\overrightarrow{OP_s}=(1,0,5)-(0,0,0)=(1,0,5)

\vec v_s\times\overrightarrow{OP_s}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&1&-1\\1&0&5\end{vmatrix}=5\vec\imath-11\vec\jmath-\vec k

|\vec v_s\times\overrightarrow{OP_s}|=\sqrt{5^2+(-11)^2+(-1)^2}=\sqrt{147}=7\sqrt3

|\vec v_s|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt6

Luego, la distancia es:

d(O,s)=\dfrac{7\sqrt3}{\sqrt6}=\dfrac{7\sqrt2}2\text{ u.l.}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s