Problema 872

En una fábrica hay tres máquinas A, B y C que producen la misma cantidad de piezas. La máquina A produce un 2% de piezas defectuosas, la B un 4% y la C un 5%.

a) Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.
b) Si se elige una pieza al azar y resulta que no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que fuera fabricada por la máquina A?


Solución:

a) Sea A el suceso “pieza elegida de la máquina A“, sea B el suceso “pieza elegida de la máquina B“, sea C el suceso “pieza elegida de la máquina C” y sea D el suceso “pieza defectuosa”. Cada fábrica produce 1/3 del total de piezas.
Según el enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:

\bullet~P[A]=\frac13\\\bullet~P[B]=\frac13\\\bullet~P[C]=\frac13\\\bullet~P[D/A]=\frac2{100}=0.02\\\bullet~P[D/B]=0.04\\\bullet~P[D/C]=0.05

Nos piden la probabilidad total de que una pieza elegida al azar sea defectuosa, P[D]:

P[D]=P[A]\cdot P[D/A]+P[B]\cdot P[D/B]+P[C]\cdot P[D/C]=\\\\=\dfrac13\cdot0.02+\dfrac13\cdot0.04+\dfrac13\cdot0.05=\\\\=\dfrac13\cdot0.11=\boxed{0.0367}


b) Nos piden la probabilidad de que una pieza sea fabricada por la máquina A sabiendo que no está defectuosa, P[A/\overline D]. Utilizamos para ello el teorema de Bayes:

P[A/\overline D]=\dfrac{P[A]\cdot P[\overline D/A]}{P[\overline D]}\qquad(1)

Sabemos que:

\bullet~P[\overline D/A]+P[D/A]=1\\\\\bullet~P[\overline D]+P[D]=1

luego:

P[\overline D/A]=1-P[D/A]=1-0.02=0.98\\\\P[\overline D]=1-0.0367=0.9633

Sustituyendo en (1):

P[A/\overline D]=\dfrac{\frac13\cdot0.98}{0.9633}=\boxed{0.3391}

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