Problema 873

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}

a) Determina, según los valores de λ, el rango de la matriz AA^t-\lambda I, siendo A^t la matriz traspuesta de A e I la matriz unidad de orden 2.
b) Determina la matriz X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} que verifica la ecuación matricial AA^tX=6X.


Solución:

a) Calculamos primero AA^t-\lambda I:

AA^t=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}

AA^t-\lambda I=\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-\lambda&3\\3&3-\lambda\end{pmatrix}

Calculamos el rango de esta matriz utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}3-\lambda&3\\3&3-\lambda\end{vmatrix}=(3-\lambda)^2-9=9+\lambda^2-6\lambda-9=\\\\=\lambda^2-6\lambda=\lambda(\lambda-6)

Determinante que se anula para λ=0 y λ=6. Luego:

  • Si λ≠0 y λ≠6, el rango de AA^t-\lambda I es 2.
  • Si λ=0, tenemos que AA^t-\lambda I=\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que la segunda fila es igual que la primera y la primera fila es no nula.
  • Si λ=6, tenemos que AA^t-\lambda I=\begin{pmatrix}-3&3\\3&-3\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que la segunda fila es proporcional a la primera y la primera fila es no nula.

b) Primero despejamos X de la ecuación matricial:

AA^tX=6X~;\\AA^tX-6X=\underline0~;\\(AA^t-6I)X=\underline0

siendo \overline0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.

Si sustituimos las matrices obtenemos la siguiente ecuación:

\begin{pmatrix}-3&3\\3&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

En forma de sistema de ecuaciones resulta:

\left\{\begin{array}{l}-3x+3y=0\\3x-3y=0\end{array}\right.

es un sistema homogéneo y por tanto compatible, donde la segunda ecuación es proporcional a la primera, por lo que el sistema es equivalente a la ecuación:

-3x+3y=0

Para resolver la ecuación parametrizamos x=\mu, y sustituyendo obtenemos:

3y=3\mu\rightarrow y=\mu

Luego:

\boxed{X=\begin{pmatrix}\mu\\\mu\end{pmatrix}}

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