Problema 874

a) Calcula \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}.

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula \int_0^1x\ln(1+x)~dx.


Solución:

a) Recordamos que las indeterminaciones del tipo \dfrac00 la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\boxed{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}

Recordemos también la tabla de derivadas:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}=\dfrac{\text{sen}^20-3\cdot0^2}{e^{0^2}-\cos(2\cdot0)}=\dfrac0{1-1}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{2\text{sen}x\cdot\cos x-6x}{e^{x^2}\cdot2x+2\text{sen}(2x)}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}x\cdot\cos x-3x}{xe^{x^2}+\text{sen}(2x)}=\dfrac00=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos^2x-\text{sen}^2x-3}{e^{x^2}+xe^{x^2}2x+2\cos(2x)}=\dfrac{1-0-3}{1+0+2}=\boxed{\dfrac{-2}3}


b) Se trata de un prisma de base cuadrada de lado x y altura H.p113

El volumen del prisma es igual al área de la base por la altura del mismo, y nos da la restricción:

V=x^2H=80\qquad(1)

La superficie de la tapa y de la base es la del cuadrado, s_b=x^2, y la superficie lateral del prisma es el perímetro de la base por la altura, s_l=4xH.

Sabiendo que la tapa y el lateral vale 2 €/dm² y que la base vale 3 €/dm², entonces el coste total C es:

C(x,H)=2(x^2+4xH)+3x^2~;\\\\C(x,H)=5x^2+8xH\qquad(2)

Pero según la restricción (1), tenemos que H=\frac{80}{x^2}. Sustituyendo en (2):

C(x)=5x^2+8x\cdot\dfrac{80}{x^2}~;\\\\C(x)=5x^2+\dfrac{640}x

Calculamos el valor x para el que se maximiza la función coste calculando sus puntos críticos (igualamos su derivada a 0):

C'(x)=10x-\dfrac{640}{x^2}=0~;\\\\10x=\dfrac{640}{x^2}~;\\\\10x^3=640~;\\\\x^3=64~;\\\\x=\sqrt[3]{64}=4

Solo tenemos un punto crítico real, veamos si este punto crítico corresponde a un mínimo local. Utilizamos para ello el test de la derivada segunda:

C''(x)=10+\dfrac{640\cdot2x}{x^4}=10+\dfrac{1280}{x^3}~;\\\\C''(4)=10+\dfrac{1280}{4^3}>0

Luego, según el test de la derivada segunda, la función coste alcanza en x=4 un mínimo. Calculamos el valor de H:

H=\dfrac{80}{4^2}=5

Para que el coste sea mínimo, la caja debe tener una base cuadrada de 4 dm de lado y una altura de 5 dm.


c) Primero calculamos la integral indefinida, I=\int x\ln(1+x)~dx utilizando el método de integración por partes (recordar la tabla de integrales):

\boxed{\begin{array}{ll}u=\ln(1+x)&\rightarrow du=\dfrac1{1+x}~dx\\\\dv=x~dx&\rightarrow v=\dfrac{x^2}2\end{array}}

Luego:

\displaystyle I=\int x\ln(1+x)~dx=\dfrac{x^2}2\cdot\ln(1+x)-\int\dfrac{x^2}2\cdot\dfrac1{1+x}~dx=\\\\=\dfrac{x^2}2\cdot\ln(1+x)-\dfrac12\int\underbrace{\dfrac{x^2}{1+x}}_{(A)}~dx

Haciendo la división (A) obtenemos el cociente x-1 y el resto 1. Luego:

\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac1{x+1}

Volviendo a la integral:

\displaystyle I=\dfrac{x^2}2\cdot\ln(1+x)-\dfrac12\left(\int x-1+\dfrac1{x+1}~dx\right)=\\\\=\dfrac{x^2}2\cdot\ln(1+x)-\dfrac{x^2}4+\dfrac x2-\dfrac{\ln|x+1|}2+c

Ahora calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow:

\displaystyle\int_0^1x\ln(1+x)~dx=\left[\dfrac{x^2}2\cdot\ln(1+x)-\dfrac{x^2}4+\dfrac x2-\dfrac{\ln|x+1|}2\right]_0^1=\\\\=\left(\dfrac{1^2}2\cdot\ln(2)-\dfrac{1^2}4+\dfrac12-\dfrac{\ln|2|}2\right)-\Big(0\Big)=\boxed{\dfrac14}

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