Problema 875

Dados los planos

\pi_1:~x+y-z+2=0\qquad\pi_2:~\left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda+\mu\\y=\lambda+3\mu\\z=-1-\lambda\end{array}\right.

a) Estudia la posición relativa de \pi_1\text{ y }\pi_2. Si se cortan, calcula el ángulo que forman.
b) Sea s una recta que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular a \pi_1. Calcula el punto de corte de s y \pi_1.
c) Calcula el punto simétrico del punto P(1,1,1) respecto del plano \pi_1.


Solución:

a) Para estudiar la posición relativa de dos planos sustituimos las paramétricas de \pi_2 en la implícita de \pi_1:

(2+\lambda+\mu)+(\lambda+3\mu)-(-1-\lambda)+2=0~;\\\\3\lambda+4\mu+5=0

Ver posiciones relativas de dos planos.
Observamos que no se anulan los coeficientes de λ y μ luego, los dos planos se cortan según una recta r.

dos planos se cortan

Para obtener la ecuación de dicha recta, despejamos uno de los parámetros de la última ecuación:

\mu=\dfrac{-3\lambda-5}4

y lo sustituimos en las paramétricas de \pi_2:

\left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda+\dfrac{-3\lambda-5}4=\dfrac{8+4\lambda-3\lambda-5}4\\y=\lambda+3\cdot\dfrac{-3\lambda-5}4=\dfrac{4\lambda-9\lambda-15}4\\z=-1-\lambda\end{array}\right.

r:~\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{\lambda+3}4\\\\y=\dfrac{-5\lambda-15}4\\\\z=-1-\lambda\end{array}\right.


b) El vector normal de \pi_1 es \vec n_1=(1,1,-1).
Por ser perpendicular a \pi_1, el vector director de la recta s es paralelo al vector normal del plano:

\boxed{s\perp\pi_1\leftrightarrow\vec v_s\parallel\vec n_1}

Luego, tomamos \vec v_s=(1,1,-1), y como s pasa por el punto P(1,1,1), ya tenemos la forma vectorial de s:

s:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(1,1,-1)

Y en forma paramétrica:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=1+\lambda\\z=1-\lambda\end{array}\right.

Calculamos ahora el punto de corte de la recta s con el plano \pi_1:~x+y-z+2=0 sustituyendo las paramétricas de s en la implícita del plano y resolviendo:

(1+\lambda)+(1+\lambda)-(1-\lambda)+2=0~;\\\\3\lambda+3=0~;\\\\\lambda=-1

y sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de s obtenemos el punto de corte de la recta y el plano que llamaremos M:

M:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\\z=2\end{array}\right.p120


c) Calculamos el punto simétrico de P respecto del plano \pi_1 que coincide con el simétrico de P con respecto a M, ya que M es la proyección de P sobre \pi_1.
El punto M es el punto medio de P y su simétrico P ‘, luego, utilizando la fórmula del punto medio:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=2(0,0,2)-(1,1,1)~;\\\\P'=(-1,-1,3)

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