Problema 876

a) En un experimento aleatorio, sean A y B dos sucesos con P[\overline A]=0.4; P[B]=0.7. Si A y B son independientes, calcula P[A\cup B] y P[A-B]. (Nota: \overline A es el suceso contrario o complementario de A).

b) En un grupo de 100 personas hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige al azar 4 personas del grupo, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar más mujeres que hombres?


Solución:

a) A partir de P[\overline A]=0.4 calculamos:

P[A]=1-P[\overline A]=1-0.4=0.6

Como los sucesos A y B son independientes, entonces:

P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B]=0.6\cdot0.7=0.42

Ya podemos calcular:

\bullet~P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]=0.6+0.7-0.42=\boxed{0.88}\\\\\bullet~P[A-B]=P[A]-P[A\cap B]=0.6-0.42=\boxed{0.18}


b) Sea p la probabilidad de elegir al azar a una mujer. En nuestro caso:

p=\dfrac{60}{100}=0.6

Se trata de un problema de distribución binomial B(n,p) con n=4 y p=0.6, donde la probabilidad de que haya k éxitos en n elecciones es:

\boxed{P[x=k]={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}}

siendo q=1-p.

La probabilidad de que en 4 elecciones hayan más mujeres que hombres es la probabilidad de que salgan 3 mujeres más la de que salgan 4 mujeres.

\displaystyle P[x=3]+P[x=4]={4\choose3}\cdot0.6^3\cdot0.4^1+{4\choose4}\cdot0.6^4\cdot0.4^0=\boxed{0.4752}

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