Problema 877

a) Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones:

b) Resuélvelo, si es posible, cuando m=1.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial :

Calculamos el rango de las matrices de coeficiente y ampliada utilizando determinantes:

Luego, el rango de la matriz de coeficientes M es 2 para todo m real. Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:

Determinante que se anula para m=1, luego:

  • Si m≠1, el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible.
  • Si m=1, el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.

b) Para m=1, el sistema es compatible indeterminado como se dijo antes. El sistema es:

Este sistema es equivalente a:

Para resolvemos parametrizamos . De esta manera, el sistema queda:

de donde resulta y, sustituyendo en la primera ecuación:

Es decir, la solución es .

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