Problema 878

a) Calcula los valores de a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+b&\text{si}&x<3\\\ln(x-2)&\text{si}&x\geq3\end{array}\right. sea derivable en x=3 y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta x+3y=0.

b) Si P(x) es un polinomio de tercer grado, con punto de inflexión en el punto (0,5) y un extremo relativo en el punto (1,1), calcula \int_0^1P(x)~dx.


Solución:

a) Para ser derivable en x=3, primero ha de ser continua en x=3. Comenzamos estudiando la continuidad de f en x=3:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^+}\ln(x-2)=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}ax^2+b=9a+b\\\bullet~f(3)=\ln(3-2)=\ln1=0

Luego, para que f sea continua en x=3, ha de ser 9a+b=0.
Para estudiar la derivabilidad en x=3, comenzamos calculando la derivada de f (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2ax&\text{si}&x<3\\\frac1{x-2}&\text{si}&x>3\end{array}\right.

\displaystyle\bullet~f'(3^+)=\lim_{x\rightarrow3^+}\dfrac1{x-2}=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}2ax=6a

Luego, para que f también sea derivable en x=3, ha de ser 6a=1.
Las dos condiciones anteriores nos da un sistema:

\left\{\begin{array}{l}9a+b=0\\6a=1\end{array}\right.

Cuya solución es \boxed{a=\frac16\text{ y }b=\frac{-3}2}.

Por otra parte, nos piden el punto en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta x+3y=0.
La recta x+3y=0 tiene pendiente m=\frac{-1}3, y como la recta tangente es paralela a esta recta, la pendiente de la recta tangente vale lo mismo, m_{rt}=\frac{-1}3.
Como la pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de f en el punto de tangencia x=x_0 entonces f'(x_0)=\frac{-1}3.
Siendo:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac13x&\text{si}&x<3\\\frac1{x-2}&\text{si}&x>3\end{array}\right.

igualamos los dos trozos de f´ a \frac{-1}3 y resolvemos:

\bullet~\dfrac13x=\dfrac{-1}3\rightarrow x=-1\\\\\bullet~\dfrac1{x-2}=\dfrac{-1}3\rightarrow x-2=-3\rightarrow x=-1!!!

El segundo resultado no tiene sentido ya que en ese trozo ha de ser x>3.
Luego, el punto en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta x+3y=0 es x=-1 y cuya imagen es:

f(-1)=\dfrac16\cdot(-1)^2-\dfrac32=\dfrac{1-9}6=\dfrac{-8}6~;\\f(-1)=\dfrac{-4}3

Es decir, en el punto (-1,\frac{-4}3).


b) Sea el polinomio de tercer grado:

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Tiene un punto de inflexión en el punto (0,5), es decir:

\bullet~P(0)=5\\\bullet~P''(0)=0

Tiene un extremo relativo en el punto (1,1), es decir:

\bullet~P(1)=1\\\bullet~P'(1)=0

Utilizamos todos estos datos:

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\P'(x)=3ax^2+2bx+c\\P''(x)=6ax+2b\\\\P(0)=d\\P''(0)=2b\\P(1)=a+b+c+d\\P'(1)=3a+2b+c

Planteamos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}d=5\\2b=0\\a+b+c+d=1\\3a+2b+c=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es d=5,~b=0,~a=2,~c=-6. Luego:

P(x)=2x^3-6x+5

Nos piden la integral \int_0^1P(x)~dx:

\displaystyle\int_0^12x^3-6x+5~dx=\left[\dfrac{2x^4}4-\dfrac{6x^2}2+5x\right]_0^1=\\\\=\left[\dfrac{x^4}2-3x^2+5x\right]_0^1=\\\\=\left(\dfrac{1^4}2-3\cdot1^2+5\cdot1\right)-\Big(0\Big)=\\\\=\dfrac12-3+5=\boxed{\dfrac52}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s