Problema 879

Sea r la recta que pasa por los puntos P(1,0,5) y Q(5,2,3).

a) Calcula la distancia del punto A(5,-1,6) a la recta r.
b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a r y pasa por el punto A(5,-1,6).
c) Calcula el área del triángulo de vértices los puntos P(1,0,5), A(5,-1,6) y el punto de corte de la recta r con el plano \pi:~2x+y-z-3=0.


Solución:

a) Para calcular la distancia de un punto a una recta, como se explica aquí en la fórmula 5, necesitamos el vector director \vec v_r de la recta r que es paralelo al vector \overrightarrow{PQ}:

\overrightarrow{PQ}=(5,2,3)-(1,0,5)=(4,2,-2)

Vector que podemos simplificar para facilitar cálculos:

\vec v_r=\dfrac12\cdot(4,2,-2)=(2,1,-1)

Sabiendo que la recta r pasa por el punto P(1,0,5), entonces:

d(A,r)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{AP}|}{|\vec v_r|}

\overrightarrow{AP}=(1,0,5)-(5,-1,6)=(-4,1,-1)

\vec v_r\times\overrightarrow{AP}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&1&-1\\-4&1&-1\end{vmatrix}=(4+2)\vec\jmath+(2+4)\vec k=(0,6,6)

|\vec v_r\times\overrightarrow{AP}|=\sqrt{0^2+6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2

|\vec v_r|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt6

Luego, la distancia es:

d(A,r)=\dfrac{6\sqrt2}{\sqrt6}=\boxed{2\sqrt3\text{ u.l.}}


b) Por ser perpendicular a r, el plano α que nos piden tiene por vector normal \vec n uno paralelo al vector director de r:

\boxed{\alpha\perp r\leftrightarrow\vec n\parallel\vec r}

Luego, si el vector director de r es \vec v_r=(2,1,-1), entonces el plano α tiene la forma implícita:

\alpha:~2x+y-z+D=0

El coeficiente D lo calculamos imponiendo que el plano α pase por el punto A(5,-1,6):

2\cdot5+(-1)-6+D=0~;\\\\3+D=0~;\\\\D=-3

Luego, el plano α es \boxed{2x+y-z-3=0}.


c) Llamamos C al punto de corte de la recta r con el plano π. Dado que r pasa por P(1,0,5) y tiene vector director \vec v_r=(2,1,-1), la forma paramétrica de r es:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=\lambda\\z=5-\lambda\end{array}\right.

Para calcular C, sustituimos las paramétricas de r en la implícita de \pi:~2x+y-z-3=0 y resolvemos:

2(1+2\lambda)+\lambda-(5-\lambda)-3=0~;\\\\2+4\lambda+\lambda-5+\lambda-3=0~;\\\\6\lambda-6=0~;\\\\\lambda=1

Sustituyendo el valor \lambda=1 en las paramétricas de r obtenemos las coordenadas de C:

C:~\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=1\\z=4\end{array}\right.

El área S del triángulo formado por los puntos A, P y C es:

S=\dfrac{|\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AC}|}2

\overrightarrow{AP}=(-4,1,-1)\\\overrightarrow{AC}=(3,1,4)-(5,-1,6)=(-2,2,-2)

\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-4&1&-1\\-2&2&-2\end{vmatrix}=(2-8)\vec\jmath+(-8+2)\vec k=(0,-6,-6)

|\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+(-6)^2+(-6)^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2

Luego, el área es:

S=\dfrac{6\sqrt2}2=\boxed{3\sqrt2\text{ u.a.}}

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