Problema 881

Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}1&0\\k&1\\1&1\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}1&1&-3\\3&1&-1\end{pmatrix}:

a) Determina, según los valores de k, el rango de las matrices AB y BA.
b) Para el valor k=0, determina las matrices X que verifican ABX=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.


Solución:

a) Comenzamos con la matriz AB:

AB=\begin{pmatrix}1&0\\k&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&-3\\3&1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&-3\\k+3&k+1&-3k-1\\4&2&-4\end{pmatrix}

Calculamos su rango utilizando determinantes (recordar las propiedades de los determinantes):

\begin{vmatrix}1&1&-3\\k+3&k+1&-3k-1\\4&2&-4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-3\\k&k&-3k\\4&2&-4\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&1&-3\\3&1&-1\\4&2&-4\end{vmatrix}=\\\\=0+\Big(-4-4-18+12+12+2\Big)=0

El rango no es 3. Veamos si es 2:

\begin{vmatrix}1&1\\4&2\end{vmatrix}=2-4=-2\neq0

Luego, el rango de AB es 2 para todo valor de k.

Seguimos con la matriz BA:

BA=\begin{pmatrix}1&1&-3\\3&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\k&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k-2&-2\\k+2&0\end{pmatrix}

Calculamos su rango utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}k-2&-2\\k+2&0\end{vmatrix}=2(k+2)

Determinante que se anula para k=-2. Luego:

  • Si k≠-2, el rango de BA es 2.
  • Si k=-2, tenemos la matriz BA=\begin{pmatrix}-4&-2\\0&0\end{pmatrix} cuyo rango es 1, ya que la segunda fila es nula.

b) Para el valor k=0, tenemos:

AB=\begin{pmatrix}1&1&-3\\3&1&-1\\4&2&-4\end{pmatrix}_{3\times3}

La matriz X es:

X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

Escribimos la ecuación matricial ABX=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}:

\begin{pmatrix}1&1&-3\\3&1&-1\\4&2&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

En forma de sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-3z&=0\\3x+y-z&=0\\4x+2y-4z&=0\end{array}\right.

Se trata de un sistema homogéneo donde la matriz de coeficientes AB y la ampliada tienen rango 2, como se demostró en el apartado a), luego, el sistema es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-3z&=0\\4x+2y-4z&=0\end{array}\right.

Resolvemos el sistema parmetrizando z=\lambda:

\left\{\begin{array}{l}x+y=3\lambda\\4x+2y=4\lambda\end{array}\right.

Multiplicamos por -2 la primera ecuación y obtenemos el sistema equivalente:

\left\{\begin{array}{l}-2x-2y=-6\lambda\\4x+2y=4\lambda\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones obtenemos:

2x=-2\lambda

de donde, x=-\lambda.
Y dado que x+y=3\lambda, entonces:

y=3\lambda-(-\lambda)=4\lambda

Teniendo así la matriz X:

\boxed{X=\begin{pmatrix}-\lambda\\4\lambda\\\lambda\end{pmatrix}}

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