Problema 882

a) Calcula:

  1. \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}
  2. \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}

b) La derivada de una función f, que tiene dominio (0,∞), es f'(x)=1+\ln x. Determina la función f teniendo en cuenta que su gráfica pasa por el punto (1,4).

c) Determina, si existen, los máximos y los mínimos relativos de f.


Solución:

a) Recordar que para resolver indeterminaciones del tipo \frac{\infty}{\infty} podemos utilizar la regla de L’Hôpital:

\boxed{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}

Entonces (recordar la tabla de derivadas):

\displaystyle1.~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}=\dfrac{-\infty+3e^{-2\infty}}{-\infty+e^{-2\infty}}=\dfrac{-\infty+0}{-\infty+0}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1+3e^{2x}\cdot2}{1+e^{2x}\cdot2}=\dfrac{1+0}{1+0}=\boxed{1}

\displaystyle2.~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+3e^{2x}}{x+e^{2x}}=\dfrac{+\infty+3e^{+2\infty}}{+\infty+e^{+2\infty}}=\dfrac{+\infty}{+\infty}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1+3e^{2x}\cdot2}{1+e^{2x}\cdot2}=\dfrac{+\infty}{+\infty}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{6e^{2x}\cdot2}{2e^{2x}\cdot2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3e^{2x}}{e^{2x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}3=\boxed{3}


b) Para obtener f lo que hacemos es integrar f´:

\displaystyle f(x)=\int(1+\ln x)~dx

Aplicamos el método de integración por partes:

\boxed{\begin{array}{ll}u=1+\ln x&\rightarrow du=\dfrac1x~dx\\\\dv=dx&\rightarrow v=x\end{array}}

Luego:

\displaystyle f(x)=\int(1+\ln x)~dx=x(1+\ln x)-\int x\cdot\dfrac1x~dx=\\\\=x(1+\ln x)-\int1~dx=x(1+\ln x)-x+k\\\\f(x)=x\ln x+k

Sabemos que esta función pasa por el punto (1,4), es decir, f(1)=4, luego:

f(1)=1\cdot\ln 1+k=4~;\\\\k=4

Luego, \boxed{f(x)=x\ln x+4}.


c) Los extremos relativos de f corresponden a puntos críticos. Comenzamos calculando dichos puntos críticos igualando la derivada de f a 0 y resolviendo:

1+\ln x=0~;\\\\\ln x=-1~;\\\\x=e^{-1}

Solo tenemos un punto crítico en x=e^{-1} y lo caracterizamos utilizando el test de la derivada segunda:

f''(x)=\dfrac1x~;\\\\f''(e^{-1})=\dfrac1{e^{-1}}=e>0

Luego, en x=e^{-1} la función f presenta un mínimo.
Siendo:

f(e^{-1})=e^{-1}\ln e^{-1}+4=4-\dfrac1e=\dfrac{4e-1}e

entonces, las coordenadas del mínimo son (\frac1e,\frac{4e-1}e).

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