Problema 883

Sea r la recta que pasa por los puntos (0,1,3) y (1,1,1), y s la recta s:~\left\{\begin{array}{rl}x+y-2z-1&=0\\y-2z&=0\end{array}\right.

a) Estudia la posición relativa de ambas rectas.
b) ¿Es s paralela al plano YZ? ¿Está contenida en el plano anterior?
c) Calcula la distancia de la recta r al plano \pi:~2x+z=0.


Solución:

a) La recta r pasa por el punto P_r=(0,1,3) y tiene por vector director:

\vec v_r=(1,1,1)-(0,1,3)=(1,0,-2)

Escribimos la recta s en paramétricas parametrizando z=\lambda

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=2\lambda+1\\y&=2\lambda\end{array}\right.

de donde:

s:\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

Vemos que la recta s pasa por el punto P_s=(1,0,0) y tiene vector director \vec v_s=(0,2,1).
Estudiamos la posición relativa de ambas rectas calculando rangos como se explica aquí:

\text{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\text{rg}\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&2&1\end{pmatrix}=2

ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}=2\neq0.

Calculamos ahora \text{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}, siendo:

\overrightarrow{P_rP_s}=(1,0,0)-(0,1,3)=(1,-1,-3)

Entonces:

\begin{vmatrix}1&0&-2\\0&2&1\\1&-1&-3\end{vmatrix}=-6+4+1=-1\neq0

Luego, \text{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=3, y por tanto, las rectas r y s se cruzan sin cortarse.


b) El plano YZ tiene por ecuación general x=0, y por vector normal \vec n=(1,0,0).
Si la recta s es paralela al plano YZ, entonces, el vector director de s ha de ser perpendicular al vector normal del plano:

\boxed{YZ\parallel s\leftrightarrow\vec n\perp\vec v_s}

Aplicamos la condición de perpendicularidad a ambos vectores:

\vec n\cdot\vec v_s=(1,0,0)\cdot(0,2,1)=1\cdot0+0\cdot2+0\cdot1=0

Luego, ambos vectores son perpendiculares, y por tanto, el plano YZ y la recta s son paralelos.

Por otra parte, la recta s estará contenida en el plano YZ si un punto cualquiera de s, por ejemplo P_s=(1,0,0), está contenido en el plano. Para comprobar si P_s está contenido en el plano, sustituimos las coordenadas del punto en la implícita del plano YZ que es x=0, y si se verifica la ecuación es que el punto está contenido en el plano:

1=0!!!

Luego, el punto de s no está contenido en el plano y, por tanto, s no está contenida en el plano YZ.


c) Para que haya distancia entre la recta r y el plano π, ambas variedades lineales han de ser paralelas. Es fácil demostrar que r y π son paralelos ya que el vector director de r, \vec v_r=(1,0,-2) y el vector normal de π, \vec n_{\pi}=(2,0,1) cumplen la condición de perpendicularidad:

\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=(1,0,-2)\cdot(2,0,1)=1\cdot2+0\cdot0+(-2)\cdot1=0

Una vez demostrado que la recta r y el plano π son paralelos, la distancia entre ambos es igual a la distancia entre un punto de la recta r, P_r=(0,1,3) y el plano \pi:~2x+z=0, tal como se explica aquí en el apartado 2:

d(r,\pi)=d(P_r,\pi)=\dfrac{|2\cdot0+3|}{\sqrt{2^2+0^2+1^2}}=\boxed{\dfrac3{\sqrt5}\text{ u.l.}}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s