Problema 885

a) Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}3x-2y&=0\\x-y+z&=m\\x+my-2z&=m\end{array}\right.

b) Resolverlo, si es posible, cuando m=0.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}3&-2&0\\1&-1&1\\1&m&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\m\\m\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{pmatrix}3&-2&0\\1&-1&1\\1&m&-2\end{pmatrix}=6-2-4-3m=-3m

Determinante que se anula para m=0, luego:

  • Si m≠0, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n. Luego, el sistema es compatible determinado.
  • Si m=0, entonces M=\begin{pmatrix}3&-2&0\\1&-1&1\\1&m&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2, ya que
    \begin{vmatrix}-2&0\\-1&1\end{vmatrix}=-2\neq0
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}0&-2&0\\0&-1&1\\0&0&-2\end{vmatrix}=0
    Luego, el rango de la matriz M* es también 2 y el sistema es compatible indeterminado.

b) Si m=0, el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}3x-2y&=0\\x-y+z&=0\\x-2z&=0\end{array}\right.

Como se vio en el apartado a), el rango de las matrices de coeficientes y ampliada es 2, luego, este sistema es equivalente al siguiente:

\left\{\begin{array}{rl}3x-2y&=0\\x-y+z&=0\end{array}\right.

Parametrizamos x=2\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}-2y&=-6\lambda\\-y+z&=-2\lambda\end{array}\right.

De donde obtenemos y=3\lambda y z=\lambda. Es decir, la solución del sistema es \boxed{(x,y,z)=(2\lambda,3\lambda,\lambda)}.

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