Problema 886

Dada la función f(x)=\dfrac x{1+|x|}:

a) Estudia, en x=0, la continuidad y derivabilidad de f.
b) Determina los puntos de la gráfica de f en que la recta tangente es paralela a la recta x-4y=0 y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.
c) Calcula \int_{-1}^0f(x)~dx.


Solución:

a) Esta función con valor absoluto es equivalente a la siguiente función a trozos:

f(x)=~\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac x{1+x}&\text{si}&x\geq0\\\\\dfrac x{1-x}&\text{si}&x<0\end{array}\right.

Comenzamos estudiando la continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac x{1+x}=\dfrac0{1+0}=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac x{1-x}=\dfrac0{1-0}=0\\\bullet~f(0)=\dfrac0{1+0}=0

Como estos tres resultados son inguales, entonces, f es continua en x=0.
Para estudiar la derivabilidad primero calculamos la derivada de f (recordar las reglas de derivación):

f'(x)=~\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{(1+x)^2}&\text{si}&x>0\\\\\dfrac1{(1-x)^2}&\text{si}&x<0\end{array}\right.

Estudiamos las derivabilidad de f en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac1{(1+x)^2}=\dfrac1{(1+0)^2}=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac1{(1-x)^2}=\dfrac1{(1-0)^2}=1

Por tanto, dado que ambos resultados son iguales, f también es derivable en x=0.


b) La recta x-4y=0 tiene pendiente m=1/4.
La recta tangente ha de ser paralela a esta recta, por lo que su pendiente es la misma:

m_{rt}=1/4

Por otra parte, la pendiente de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia de abscisa x=x_0 es:

\boxed{m_{rt}=f'(x_0)}

Luego, ha de ser f'(x_0)=1/4.
Igualamos la derivada de f a este valor y resolvemos. Como f´ es una función a trozos, hemos de igualar a ese valor los dos trozos:

  • Si x\geq0:
    \dfrac1{(1+x)^2}=\dfrac14~;\\\\(1+x)^2=4~;1+x^2+2x=4~;\\\\x^2+2x-3=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=-3. Descartamos el valor x=-3.

  • Si x<0:
    \dfrac1{(1-x)^2}=\dfrac14~;\\\\(1-x)^2=4~;1+x^2-2x=4~;\\\\x^2-2x-3=0

Esta ecuación de segundo grado tiene soluciones x=-1 y x=3. Descartamos el valor x=3.

La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

  • Para x_0=1:

f(1)=\dfrac1{1+1}=\dfrac12

Luego, la recta tangente en x=1 es:

y=\dfrac14(x-1)+\dfrac12~;\\\boxed{y=\dfrac{x+1}4}

  • Para x_0=-1:

f(-1)=\dfrac{-1}{1-(-1)}=\dfrac{-1}2

Luego, la recta tangente en x=-1 es:

y=\dfrac14(x-(-1))-\dfrac12~;\\\boxed{y=\dfrac{x-1}4}


c) Recordar las reglas de integración.
Atendiendo a los límites de integración, nos piden la integral:

\displaystyle\int_{-1}^0\dfrac x{1-x}~dx

Se trata de una integral racional. Si hacemos la división obtenemos el cociente -1 y de resto 1, y dado que

\boxed{\dfrac{\text{Numerador}}{\text{Denominador}}=\text{Cociente}+\dfrac{\text{Resto}}{\text{Denominador}}}

\displaystyle\int_{-1}^0\dfrac x{1-x}~dx=\int_{-1}^0-1~dx+\int_{-1}^0\dfrac1{1-x}~dx=\\\\=\Big[-x\Big]_{-1}^0+\Big[-\ln|1-x|\Big]_{-1}^0=\\\\=\Big(-0-(-(-1))\Big)+\Big(-\ln|1|-(-\ln|2|\Big)=\\\\=\boxed{-1+\ln2}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s