Problema 887

Dados los planos \alpha:~2x-2y+4z-7=0, \beta:\left\{\begin{array}{l}x=1-\lambda+3\mu\\y=5+\lambda+\mu\\z=4+\lambda-\mu\end{array}\right. y la recta r:\left\{\begin{array}{rl}x+2z-3&=0\\y-5&=0\end{array}\right.

a) Estudia la posición relativa de los planos α y β. Calcula la distancia entre ellos.
b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a α y contiene a la recta r.
c) Sean P y Q los puntos de corte de la recta r con los planos XY e YZ respectivamente. Calcula la distancia entre P y Q.


Solución:

a) Para estudiar la posición relativa de α y β sustituimos las paramétricas de β en la implícita de α:

2(1-\lambda+3\mu)-2(5+\lambda+\mu)+4(4+\lambda-\mu)-7=0\\\\1+0\lambda+0\mu=0\\\\1=0!!!

Este resultado significa que ambos planos no tienen puntos en común, luego, ambos planos son paralelos.

La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de uno de los planos al otro plano, por ejemplo, de un punto de β al plano α.
Tomamos un punto del plano β haciendo λ=0 y μ=0: P_{\beta}=(1,5,4).
Luego:

d(\alpha,\beta)=d(P_{\beta},\alpha)

Recordando la fórmula (2) de la distancia de un punto a un plano:

d(\alpha,\beta)=d(P_{\beta},\alpha)=\dfrac{|2\cdot1-2\cdot5+4\cdot4-7|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}}=\boxed{\dfrac1{24}\text{ u.l.}}


b) Llamemos π al plano que nos piden.
Por ser perpendicular a α, uno de los dos vectores directores de π será paralelo al vector normal de α, \vec n_{\alpha}=(2,-2,4). Simplificando este vector obtenemos el primer vector director de π: \vec v_1=(1,-1,2).

Pasamos las ecuaciones implícitas de r a paramétricas haciendo el cambio z=\lambda:

r:\left\{\begin{array}{rl}x+2z-3&=0\\y-5&=0\end{array}\right.\\\\r:\left\{\begin{array}{l}x=3-2\lambda\\y=5\\z=\lambda\end{array}\right.

La recta r está formada por el punto P_r=(3,5,0) y por su vector director \vec v_r=(-2,0,1).

Por contener a la recta r, el plano π estará formado por un punto de dicha recta y por su vector director. Podemos escribir ya la ecuación vectorial del plano π:

\pi:~(x,y,z)=(3,5,0)+\lambda(-2,0,1)+\mu(1,-1,2)

Escribimos este plano en forma implícita:

\begin{vmatrix}x-3&y-5&z\\-2&0&1\\1&-1&2\end{vmatrix}=(x-3)+5(y-5)+2z=x+5y+2z-28

Luego, \boxed{\pi:~x+5y+2z-28=0}.


c) P es el punto de corte entre la recta r y el plano XY, cuya ecuación implícita es z=0.
El punto de corte entre recta y plano se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones implícitas de ambas variedades lineales:

P=r\cap XY:~\left\{\begin{array}{rl}x+2z-3&=0\\y-5&=0\\z&=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es P=(3,5,0)

El plano YZ tiene por ecuación x=0. Calculamos Q como se hizo antes:

Q=r\cap YZ:~\left\{\begin{array}{rl}x+2z-3&=0\\y-5&=0\\x&=0\end{array}\right.

Resolviendo este sistema obtenemos el punto Q=(0,5,\frac32).

Utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d(P,Q)=\sqrt{(0-3)^2+(5-5)^2+(\frac32-0)^2}=\\\\=\sqrt{9+\frac94}=\sqrt{\frac{36+9}4}=\boxed{\dfrac{3\sqrt5}2\text{ u.l.}}

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