Problema 887

Dados los planos , y la recta

a) Estudia la posición relativa de los planos α y β. Calcula la distancia entre ellos.
b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a α y contiene a la recta r.
c) Sean P y Q los puntos de corte de la recta r con los planos XY e YZ respectivamente. Calcula la distancia entre P y Q.


Solución:

a) Para estudiar la posición relativa de α y β sustituimos las paramétricas de β en la implícita de α:

Este resultado significa que ambos planos no tienen puntos en común, luego, ambos planos son paralelos.

La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de uno de los planos al otro plano, por ejemplo, de un punto de β al plano α.
Tomamos un punto del plano β haciendo λ=0 y μ=0: .
Luego:

Recordando la fórmula (2) de la distancia de un punto a un plano:


b) Llamemos π al plano que nos piden.
Por ser perpendicular a α, uno de los dos vectores directores de π será paralelo al vector normal de α, . Simplificando este vector obtenemos el primer vector director de π: .

Pasamos las ecuaciones implícitas de r a paramétricas haciendo el cambio :

La recta r está formada por el punto y por su vector director .

Por contener a la recta r, el plano π estará formado por un punto de dicha recta y por su vector director. Podemos escribir ya la ecuación vectorial del plano π:

Escribimos este plano en forma implícita:

Luego, .


c) P es el punto de corte entre la recta r y el plano XY, cuya ecuación implícita es z=0.
El punto de corte entre recta y plano se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones implícitas de ambas variedades lineales:

Sistema cuya solución es

El plano YZ tiene por ecuación x=0. Calculamos Q como se hizo antes:

Resolviendo este sistema obtenemos el punto .

Utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

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