Problema 889

Consideramos las matrices A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\end{pmatrix}.

a) Calcula la matriz B^tAB.
b) Calcula la inversa de la matriz AI, en donde I es la matriz identidad de orden 2.
c) Despeja la matriz X en la ecuación matricial AX-B=X y calcúlala.


Solución:

a) Calculamos primero el primer producto y luego el resultado final:

B^tA=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\\1&2\\1&1\end{pmatrix}

B^tAB=\begin{pmatrix}3&5\\1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&5&3\\5&2&1\\3&1&1\end{pmatrix}


b) Calculamos la matriz AI:

\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}

Y ahora su inversa:

\begin{pmatrix}0&1&|&1&0\\1&1&|&0&1\end{pmatrix}\longrightarrow\big[\text{Intercambiamos filas}\Big]\longrightarrow\\\\\longrightarrow\begin{pmatrix}1&1&|&0&1\\0&1&|&1&0\end{pmatrix}\longrightarrow\Big[F_1\rightarrow F_1-F_2\Big]\longrightarrow\\\\\longrightarrow\begin{pmatrix}1&0&|&-1&1\\0&1&|&1&0\end{pmatrix}

Luego:

(A-I)^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}


c) Despejamos la matriz X de la ecuación matricial:

AX-B=X~;\\\\AX-X=B~;\\\\(A-I)X=B~;\\\\X=(A-I)^{-1}B

X=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}

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