Problema 890

Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSS, ,

El número de espectadores de una serie (N), en millones, en función del tiempo (t), en años, sigue un modelo dado por la función: N(t)=K+\dfrac{8t}{1+t^2}

a) Calcula el valor de K si se sabe que al final del segundo año el número de espectadores era de 4.2 millones.
b) Estudia el crecimiento, el decrecimiento y el momento y valor máximo de la audiencia.

Solución:

a) Para t=2 años se tiene N=4.2. Sustituimos en la función:

N(2)=4.2=K+\dfrac{8\cdot2}{1+2^2}=K+\dfrac{16}5~;\\\\K=4.2-\dfrac{16}5=\boxed{1}

b) Para estudiar la monotonía de la función N comenzamos calculando sus puntos críticos:

N(t)=1+\dfrac{8t}{1+t^2}\\\\N'(t)=\dfrac{8(1+t^2)-8t\cdot2t}{(1+t^2)^2}=\dfrac{8+8t^2-16t^2}{(1+t^2)^2}=\dfrac{8-8t^2}{(1+t^2)^2}=0~;\\\\8-8t^2=0~;\\\\t^2=1~;\\\\t=\pm1

Descartamos la solución negativa ya que el dominio temporal es mayor o igual que 0.
Con este punto crítico escribimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline t&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }N'(t)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }N(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • N crece en (0,1)
  • N decrece en (1,+∞)

Según la monotonía, en t=1 año se alcanza el máximo valor en número de espectadores, siendo este de:

N(1)=1+\dfrac{8\cdot1}{1+1^2}=1+\dfrac82=5

Es decir, 5 millones de espectadores.

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