Problema 892

Un estudio electoral con una muestra de 400 electores obtiene un intervalo para la proporción de votantes de un partido de [0.23, 0.31].

a) ¿Cuánto vale la proporción muestral?
b) ¿Cuál es el nivel de confianza con el que se estableció el intervalo?
c) ¿Cuál es el error máximo cometido con el intervalo anterior?


Solución:

a) Dado que para el intervalo de confianza de la forma [a,b], la proporción muestral es:

\boxed{p_m=\dfrac{a+b}2}

en nuestro caso resulta:

p_m=\dfrac{0.23+0.31}2=\boxed{0.27}


c) Dado el intervalo de confianza [a,b], el error máximo es:

\boxed{E=\dfrac{b-a}2}

En nuestro caso es:

E=\dfrac{0.31-0.23}2=\boxed{0.04}


b) Dada la fórmula del error:

\boxed{E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p_m(1-p_m)}n}}

con n=400, calculamos el valor de z_{\alpha/2}:

0.04=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{0.27\cdot(1-0.27)}{400}}~;\\\\z_{\alpha/2}=1.802

Por otra parte, el nivel de confianza NC está relacionado con el valor de z_{\alpha/2}. Primero calculamos la probabilidad p asociada al valor z_{\alpha/2} utilizando la tabla de probabilidades.
Según la tabla y aplicando interpolación lineal, para z_{\alpha/2}=1.802 obtenemos la probabilidad p=0.9643.

Por último, para calcular el nivel de confianza utilizamos la fórmula:

\boxed{p=\dfrac{1+NC}2}

de donde obtenemos que NC=2p-1. En nuestro caso:

NC=2\cdot0.9643-1=0.9285

Es decir, un 92.85% de nivel de confianza.

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