Problema 893

Una tienda deportiva desea liquidar 2000 camisetas y 1000 chándales de la temporada anterior. Para ello lanza dos ofertas, 1 y 2. La oferta 1 consiste en el lote de una camiseta y un chándal, que se vende a 30€; la oferta 2 consiste en un lote de tres camisetas y un chándal, que se vende a 50€. No se desea ofrecer menos de 200 lotes de la oferta 1 ni menos de 100 de la oferta 2.

a) Plantea el problema que permite determinar cuántos lotes de cada tipo debe vender para maximizar los ingresos.
b) Representa la región factible.
c) ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar los ingresos? ¿A cuánto ascienden dichos ingresos?


Solución:

a) Sea x el número de lotes de tipo 1, e y el número de lotes del tipo 2. El detalle de lo que ofrece cada lote se expresa en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{Tipo 1}&\text{Tipo 2}\\\hline\text{Camisetas}&1&3\\\hline\text{Ch\'andales}&1&1\\\hline\end{array}

  • Se dispone de hasta 2000 camiseta: x+3y\leq2000.
  • Se dispone de hasta 1000 chándales: x+y\leq1000.
  • Hay que vender no menos de 200 lotes del tipo 1: x\geq200.
  • Hay que vender no menos de 100 lotes del tipo 2: y\geq100.

Estas restricciones las agrupamos en el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+3y\leq2000\\x+y\leq1000\\x\geq200\\y\geq100\end{array}\right.


b) Escribimos las ecuaciones de las rectas a partir del sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+3y=2000\\x+y=1000\\x=200\\y=100\end{array}\right.

Representamos las rectas en una gráfica:

p893

La región factible es lugar de los puntos que verifican todas las restricciones, y está representada en gris.


c) La función objetivo es la función ingresos I. Dado que los lotes de tipo 1 se venden a 30€ y los lotes de tipo 2 se venden a 50€, la función ingresos es:

I(x,y)=30x+50y

Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas formados por cada par de rectas que dan lugar al vértice:

\begin{array}{ll}A:~\left\{\begin{array}{ll}x=200\\y=100\end{array}\right.&\rightarrow A=(200,100)\\B:~\left\{\begin{array}{ll}x=200\\x+3y=2000\end{array}\right.&\rightarrow B=(200,600)\\C:~\left\{\begin{array}{ll}x+y=1000\\x+3y=2000\end{array}\right.&\rightarrow C=(500,500)\\D:~\left\{\begin{array}{ll}x+y=1000\\y=100\end{array}\right.&\rightarrow D=(900,100)\end{array}

Evaluamos la función ingresos en cada vértice:

A\rightarrow I(200,100)=30\cdot200+50\cdot100=11000\\B\rightarrow I(200,600)=36000\\C\rightarrow I(500,500)=40000\\D\rightarrow I(900,100)=32000

Luego, los máximos ingresos se obtendrán preparando 500 lotes del tipo 1 y otros 500 lotes del tipo 2 obteniendo unos ingresos de 40000€.

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