Problema 894

Dada la función f(x)=x^2-6x+8

a) Realiza su representación gráfica estudiando sus puntos de corte con los ejes, monotonía y extremo relativo.
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función y los ejes de coordenadas.


Solución:

a) f es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola.
Calculamos sus puntos de corte con los ejes:

  • Punto de corte con el eje x, (y=0):
    0=x^2-6x+8
    ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=2 y x=4, luego, los puntos de corte con el eje x son (2,0) y (4,0).
  • Punto de corte con el eje y, (x=0):
    y=0^2-6\cdot0+8
    de donde obtenemos y=8, luego, el punto de corte con el eje y es (0,8).

Nos piden estudiar la monotonía; comenzamos calculando los puntos críticos de f (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=2x-6=0\\\\x=3

Con este punto crítico y teniendo en cuenta que el dominio de una función polinómica como f es \mathbb R, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,3)&(3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (3,+∞)
  • f decrece en (-∞,3)

A la vista de la monotonía de f y dado que f es continua en todo su dominio, se observa un mínimo en x=3 cuyo valor es:

f(3)=3^2-6\cdot3+8=-1


b) Con los datos aportados en el apartado anterior, la representación gráfica de f resulta:

p894

Recordando la tabla de integrales y la regla de Barrow, el área encerrada entre la parábola y los ejes de coordenadas es la suma de dos áreas A y B.

\displaystyle A=\int_0^2x^2-6x+8~dx=\left[\dfrac{x^3}3-3x^2+8x\right]_0^2=\\\\=\dfrac83-12+16=\dfrac{20}3\text{ u.a.}\\\\B=\int_2^4-x^2+6x-8~dx=\left[\dfrac{-x^3}3+3x^2-8x\right]_2^4=\\\\=\left(\dfrac{-64}3+3\cdot4^2-8\cdot4\right)-\left(\dfrac{-8}3+12-16\right)=\\\\=\dfrac{-16}3-\dfrac{-20}3=\dfrac43\text{ u.a.}

Luego, el área total es:

\dfrac{20}3+\dfrac43=\dfrac{24}3=\boxed{8\text{ u.a.}}

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